Cubic critical, narrow range

Average Error: 28.7 → 16.0

Time: 49.4s

Precision: 64

\[1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} \lt a \lt 94906265.62425156 \land 1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} \lt b \lt 94906265.62425156 \land 1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} \lt c \lt 94906265.62425156\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 327.36916084289504:\\ \;\;\;\;\frac{\left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} - \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \frac{\frac{\left(\sqrt{c \cdot \left(a \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) + b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) - \left(b \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) + b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\sqrt{c \cdot \left(a \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(b \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)} + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b}}{\left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b}\right) \cdot \left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b}\right) - \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right)}}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b}\\ \end{array}\]

C

double f(double a, double b, double c) {
        double r4938095 = b;
        double r4938096 = -r4938095;
        double r4938097 = r4938095 * r4938095;
        double r4938098 = 3.0;
        double r4938099 = a;
        double r4938100 = r4938098 * r4938099;
        double r4938101 = c;
        double r4938102 = r4938100 * r4938101;
        double r4938103 = r4938097 - r4938102;
        double r4938104 = sqrt(r4938103);
        double r4938105 = r4938096 + r4938104;
        double r4938106 = r4938105 / r4938100;
        return r4938106;
}

↓

double f(double a, double b, double c) {
        double r4938107 = b;
        double r4938108 = 327.36916084289504;
        bool r4938109 = r4938107 <= r4938108;
        double r4938110 = a;
        double r4938111 = c;
        double r4938112 = -3.0;
        double r4938113 = r4938111 * r4938112;
        double r4938114 = r4938110 * r4938113;
        double r4938115 = r4938107 * r4938107;
        double r4938116 = r4938114 + r4938115;
        double r4938117 = sqrt(r4938116);
        double r4938118 = r4938107 * r4938117;
        double r4938119 = r4938115 + r4938116;
        double r4938120 = r4938118 - r4938119;
        double r4938121 = r4938110 * r4938112;
        double r4938122 = r4938111 * r4938121;
        double r4938123 = r4938122 + r4938115;
        double r4938124 = sqrt(r4938123);
        double r4938125 = r4938124 * r4938115;
        double r4938126 = r4938115 * r4938115;
        double r4938127 = r4938123 * r4938126;
        double r4938128 = r4938125 * r4938127;
        double r4938129 = r4938107 * r4938126;
        double r4938130 = r4938129 * r4938126;
        double r4938131 = r4938128 - r4938130;
        double r4938132 = r4938124 * r4938129;
        double r4938133 = r4938115 * r4938126;
        double r4938134 = r4938132 + r4938133;
        double r4938135 = r4938127 + r4938134;
        double r4938136 = r4938131 / r4938135;
        double r4938137 = r4938114 * r4938117;
        double r4938138 = r4938136 + r4938137;
        double r4938139 = r4938118 * r4938118;
        double r4938140 = r4938119 * r4938119;
        double r4938141 = r4938139 - r4938140;
        double r4938142 = r4938138 / r4938141;
        double r4938143 = r4938120 * r4938142;
        double r4938144 = 3.0;
        double r4938145 = r4938110 * r4938144;
        double r4938146 = r4938143 / r4938145;
        double r4938147 = -0.5;
        double r4938148 = r4938111 / r4938107;
        double r4938149 = r4938147 * r4938148;
        double r4938150 = r4938109 ? r4938146 : r4938149;
        return r4938150;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 327.36916084289504

   1. Initial program 16.1

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified 16.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b}{3 \cdot a}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3-- 16.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(b \cdot b + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

   5. Simplified 15.5

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot b}}{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(b \cdot b + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   6. Simplified 15.5

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot b}{\color{blue}{b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} + \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right)}}}{3 \cdot a}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied distribute-lft-in 15.4

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} - \left(b \cdot b\right) \cdot b}{b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} + \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]

   9. Applied associate--l+ 15.1

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + \left(\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}}{b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} + \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]
   10. Using strategy rm

   11. Applied flip-+ 15.1

       \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + \left(\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\color{blue}{\frac{\left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b}\right) \cdot \left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b}\right) - \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right)}{b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} - \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right)}}}}{3 \cdot a}\]

   12. Applied associate-/r/ 15.1

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + \left(\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b}\right) \cdot \left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b}\right) - \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right)} \cdot \left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} - \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right)\right)}}{3 \cdot a}\]
   13. Using strategy rm

   14. Applied flip3-- 15.1

       \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}^{3} - {\left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}^{3}}{\left(\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) + \left(\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)\right)}}}{\left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b}\right) \cdot \left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b}\right) - \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right)} \cdot \left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} - \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right)\right)}{3 \cdot a}\]

   15. Simplified 14.4

       \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + \frac{\color{blue}{\left(\sqrt{\left(a \cdot -3\right) \cdot c + b \cdot b} \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(\left(a \cdot -3\right) \cdot c + b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) - \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}{\left(\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) + \left(\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)\right)}}{\left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b}\right) \cdot \left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b}\right) - \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right)} \cdot \left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} - \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right)\right)}{3 \cdot a}\]

   16. Simplified 14.4

       \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + \frac{\left(\sqrt{\left(a \cdot -3\right) \cdot c + b \cdot b} \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(\left(a \cdot -3\right) \cdot c + b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) - \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(b \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\left(a \cdot -3\right) \cdot c + b \cdot b}\right) + \left(\left(a \cdot -3\right) \cdot c + b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}}{\left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b}\right) \cdot \left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b}\right) - \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right)} \cdot \left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} - \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right)\right)}{3 \cdot a}\]

   if 327.36916084289504 < b

   1. Initial program 35.6

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified 35.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b}{3 \cdot a}}\]

   3. Taylor expanded around inf 16.8

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b}}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 16.0

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 327.36916084289504:\\ \;\;\;\;\frac{\left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b} - \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \frac{\frac{\left(\sqrt{c \cdot \left(a \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) + b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) - \left(b \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) + b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\sqrt{c \cdot \left(a \cdot -3\right) + b \cdot b} \cdot \left(b \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)} + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b}}{\left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b}\right) \cdot \left(b \cdot \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b}\right) - \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)\right)}}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019143 
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, narrow range"
  :pre (and (< 1.0536712127723509e-08 a 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 b 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 c 94906265.62425156))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))