Average Error: 37.8 → 18.8
Time: 16.1s
Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.2805350559242801 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -3.933782877011124 \cdot 10^{-208}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le 8.853592150803574 \cdot 10^{+83}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)} \cdot 0.5\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -1.2805350559242801 \cdot 10^{+154}:\\
\;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\

\mathbf{elif}\;re \le -3.933782877011124 \cdot 10^{-208}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\\

\mathbf{elif}\;re \le 8.853592150803574 \cdot 10^{+83}:\\
\;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} \cdot 0.5\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)} \cdot 0.5\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r4665137 = 0.5;
        double r4665138 = 2.0;
        double r4665139 = re;
        double r4665140 = r4665139 * r4665139;
        double r4665141 = im;
        double r4665142 = r4665141 * r4665141;
        double r4665143 = r4665140 + r4665142;
        double r4665144 = sqrt(r4665143);
        double r4665145 = r4665144 + r4665139;
        double r4665146 = r4665138 * r4665145;
        double r4665147 = sqrt(r4665146);
        double r4665148 = r4665137 * r4665147;
        return r4665148;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r4665149 = re;
        double r4665150 = -1.2805350559242801e+154;
        bool r4665151 = r4665149 <= r4665150;
        double r4665152 = 2.0;
        double r4665153 = im;
        double r4665154 = r4665153 * r4665153;
        double r4665155 = r4665152 * r4665154;
        double r4665156 = sqrt(r4665155);
        double r4665157 = -2.0;
        double r4665158 = r4665157 * r4665149;
        double r4665159 = sqrt(r4665158);
        double r4665160 = r4665156 / r4665159;
        double r4665161 = 0.5;
        double r4665162 = r4665160 * r4665161;
        double r4665163 = -3.933782877011124e-208;
        bool r4665164 = r4665149 <= r4665163;
        double r4665165 = fabs(r4665153);
        double r4665166 = r4665149 * r4665149;
        double r4665167 = r4665166 + r4665154;
        double r4665168 = sqrt(r4665167);
        double r4665169 = r4665168 - r4665149;
        double r4665170 = sqrt(r4665169);
        double r4665171 = r4665165 / r4665170;
        double r4665172 = sqrt(r4665152);
        double r4665173 = r4665171 * r4665172;
        double r4665174 = r4665161 * r4665173;
        double r4665175 = 8.853592150803574e+83;
        bool r4665176 = r4665149 <= r4665175;
        double r4665177 = cbrt(r4665167);
        double r4665178 = r4665177 * r4665177;
        double r4665179 = sqrt(r4665178);
        double r4665180 = cbrt(r4665168);
        double r4665181 = r4665180 * r4665180;
        double r4665182 = sqrt(r4665181);
        double r4665183 = r4665179 * r4665182;
        double r4665184 = r4665149 + r4665183;
        double r4665185 = r4665152 * r4665184;
        double r4665186 = sqrt(r4665185);
        double r4665187 = r4665186 * r4665161;
        double r4665188 = r4665149 + r4665149;
        double r4665189 = r4665152 * r4665188;
        double r4665190 = sqrt(r4665189);
        double r4665191 = r4665190 * r4665161;
        double r4665192 = r4665176 ? r4665187 : r4665191;
        double r4665193 = r4665164 ? r4665174 : r4665192;
        double r4665194 = r4665151 ? r4665162 : r4665193;
        return r4665194;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.8
Target32.8
Herbie18.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -1.2805350559242801e+154

    1. Initial program 62.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+62.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/62.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div62.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified48.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im + 0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    7. Taylor expanded around -inf 19.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im + 0\right)}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

    if -1.2805350559242801e+154 < re < -3.933782877011124e-208

    1. Initial program 42.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+42.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/42.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div42.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified28.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im + 0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied *-un-lft-identity28.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im + 0\right)}}{\color{blue}{1 \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    9. Applied sqrt-prod29.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{im \cdot im + 0}}}{1 \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    10. Applied times-frac29.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{2.0}}{1} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

    11. Simplified29.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{2.0}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

    12. Simplified18.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\]

    if -3.933782877011124e-208 < re < 8.853592150803574e+83

    1. Initial program 22.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt22.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod22.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-sqr-sqrt22.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    7. Applied cbrt-prod22.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    if 8.853592150803574e+83 < re

    1. Initial program 47.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 10.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification18.8

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.2805350559242801 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -3.933782877011124 \cdot 10^{-208}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le 8.853592150803574 \cdot 10^{+83}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019142 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))