Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)

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Precision: 64

Math

\[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]

↓

\[\frac{\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(9 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(9 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}}}{\pi} \cdot \frac{\frac{1 - v \cdot \left(5 \cdot v\right)}{\sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(9 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}}}{t}}{1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(\left(v \cdot v + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1\right)\right)\]

C

double f(double v, double t) {
        double r7987468 = 1.0;
        double r7987469 = 5.0;
        double r7987470 = v;
        double r7987471 = r7987470 * r7987470;
        double r7987472 = r7987469 * r7987471;
        double r7987473 = r7987468 - r7987472;
        double r7987474 = atan2(1.0, 0.0);
        double r7987475 = t;
        double r7987476 = r7987474 * r7987475;
        double r7987477 = 2.0;
        double r7987478 = 3.0;
        double r7987479 = r7987478 * r7987471;
        double r7987480 = r7987468 - r7987479;
        double r7987481 = r7987477 * r7987480;
        double r7987482 = sqrt(r7987481);
        double r7987483 = r7987476 * r7987482;
        double r7987484 = r7987468 - r7987471;
        double r7987485 = r7987483 * r7987484;
        double r7987486 = r7987473 / r7987485;
        return r7987486;
}

↓

double f(double v, double t) {
        double r7987487 = 1.0;
        double r7987488 = 2.0;
        double r7987489 = 9.0;
        double r7987490 = v;
        double r7987491 = r7987490 * r7987490;
        double r7987492 = r7987489 * r7987491;
        double r7987493 = r7987492 * r7987491;
        double r7987494 = r7987487 - r7987493;
        double r7987495 = r7987488 * r7987494;
        double r7987496 = sqrt(r7987495);
        double r7987497 = cbrt(r7987496);
        double r7987498 = r7987497 * r7987497;
        double r7987499 = r7987487 / r7987498;
        double r7987500 = atan2(1.0, 0.0);
        double r7987501 = r7987499 / r7987500;
        double r7987502 = 5.0;
        double r7987503 = r7987502 * r7987490;
        double r7987504 = r7987490 * r7987503;
        double r7987505 = r7987487 - r7987504;
        double r7987506 = r7987505 / r7987497;
        double r7987507 = t;
        double r7987508 = r7987506 / r7987507;
        double r7987509 = r7987501 * r7987508;
        double r7987510 = r7987490 * r7987491;
        double r7987511 = r7987510 * r7987510;
        double r7987512 = r7987487 - r7987511;
        double r7987513 = r7987509 / r7987512;
        double r7987514 = 3.0;
        double r7987515 = r7987514 * r7987491;
        double r7987516 = r7987487 + r7987515;
        double r7987517 = sqrt(r7987516);
        double r7987518 = r7987491 * r7987491;
        double r7987519 = r7987491 + r7987518;
        double r7987520 = r7987519 + r7987487;
        double r7987521 = r7987517 * r7987520;
        double r7987522 = r7987513 * r7987521;
        return r7987522;
}

Error

Bits error versus v

Bits error versus t

Derivation

1. Initial program 0.4

   \[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
2. Using strategy rm

3. Applied flip3-- 0.4

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}}\]

4. Applied flip-- 0.4

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\]

5. Applied associate-*r/ 0.4

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\]

6. Applied sqrt-div 0.4

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\]

7. Applied associate-*r/ 0.4

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}} \cdot \frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\]

8. Applied frac-times 0.4

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}}\]

9. Applied associate-/r/ 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)}\]

10. Simplified 0.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 9\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}}{\pi \cdot t}}{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)}} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]
11. Using strategy rm

12. Applied add-cube-cbrt 0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 9\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 9\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 9\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}}}}{\pi \cdot t}}{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

13. Applied *-un-lft-identity 0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\color{blue}{1 \cdot \left(1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v\right)}}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 9\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 9\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 9\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}}}{\pi \cdot t}}{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

14. Applied times-frac 0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 9\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 9\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}} \cdot \frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{\sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 9\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}}}}{\pi \cdot t}}{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

15. Applied times-frac 0.3

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 9\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 9\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}}}{\pi} \cdot \frac{\frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{\sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 9\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}}}{t}}}{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

16. Final simplification 0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(9 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(9 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}}}{\pi} \cdot \frac{\frac{1 - v \cdot \left(5 \cdot v\right)}{\sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(9 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}}}{t}}{1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(\left(v \cdot v + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019141 
(FPCore (v t)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)"
  (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (* (* (* PI t) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v)))))) (- 1 (* v v)))))