Average Error: 1.0 → 0.0
Time: 27.3s
Precision: 64
\[\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}\]
↓
\[\frac{4}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right)\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right)\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right)\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right)\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right)\right) \cdot \pi\right)}}}\]
\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}
↓
\frac{4}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right)\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right)\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right)\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right)\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right)\right) \cdot \pi\right)}}}
double f(double v) {
        double r4016891 = 4.0;
        double r4016892 = 3.0;
        double r4016893 = atan2(1.0, 0.0);
        double r4016894 = r4016892 * r4016893;
        double r4016895 = 1.0;
        double r4016896 = v;
        double r4016897 = r4016896 * r4016896;
        double r4016898 = r4016895 - r4016897;
        double r4016899 = r4016894 * r4016898;
        double r4016900 = 2.0;
        double r4016901 = 6.0;
        double r4016902 = r4016901 * r4016897;
        double r4016903 = r4016900 - r4016902;
        double r4016904 = sqrt(r4016903);
        double r4016905 = r4016899 * r4016904;
        double r4016906 = r4016891 / r4016905;
        return r4016906;
}
↓
double f(double v) {
        double r4016907 = 4.0;
        double r4016908 = -6.0;
        double r4016909 = v;
        double r4016910 = r4016909 * r4016909;
        double r4016911 = 2.0;
        double r4016912 = fma(r4016908, r4016910, r4016911);
        double r4016913 = sqrt(r4016912);
        double r4016914 = -3.0;
        double r4016915 = 3.0;
        double r4016916 = fma(r4016910, r4016914, r4016915);
        double r4016917 = r4016913 * r4016916;
        double r4016918 = atan2(1.0, 0.0);
        double r4016919 = r4016917 * r4016918;
        double r4016920 = r4016919 * r4016919;
        double r4016921 = r4016920 * r4016919;
        double r4016922 = cbrt(r4016921);
        double r4016923 = r4016920 * r4016922;
        double r4016924 = cbrt(r4016923);
        double r4016925 = r4016907 / r4016924;
        return r4016925;
}

Error

Bits error versus v

Derivation

  1. Initial program 1.0

    \[\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}\]

  2. Simplified0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{4}{\pi \cdot \left(\mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)}\right)}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied add-cbrt-cube0.0

    \[\leadsto \frac{4}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\pi \cdot \left(\mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)}\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)}\right)\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)}\right)\right)}}}\]
  5. Using strategy rm

  6. Applied add-cbrt-cube0.0

    \[\leadsto \frac{4}{\sqrt[3]{\left(\left(\pi \cdot \left(\mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)}\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\pi \cdot \left(\mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)}\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)}\right)\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)}\right)\right)}}}}\]

  7. Final simplification0.0

    \[\leadsto \frac{4}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right)\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right)\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right)\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right)\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-6, v \cdot v, 2\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(v \cdot v, -3, 3\right)\right) \cdot \pi\right)}}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019138 +o rules:numerics
(FPCore (v)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (22+)"
  (/ 4 (* (* (* 3 PI) (- 1 (* v v))) (sqrt (- 2 (* 6 (* v v)))))))