Cubic critical, wide range

Average Error: 52.4 → 51.6

Time: 28.2s

Precision: 64

\[4.930380657631324 \cdot 10^{-32} \lt a \lt 2.028240960365167 \cdot 10^{+31} \land 4.930380657631324 \cdot 10^{-32} \lt b \lt 2.028240960365167 \cdot 10^{+31} \land 4.930380657631324 \cdot 10^{-32} \lt c \lt 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

↓

\[\frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}{3} \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}\right)}{a}\]

C

double f(double a, double b, double c) {
        double r3632329 = b;
        double r3632330 = -r3632329;
        double r3632331 = r3632329 * r3632329;
        double r3632332 = 3.0;
        double r3632333 = a;
        double r3632334 = r3632332 * r3632333;
        double r3632335 = c;
        double r3632336 = r3632334 * r3632335;
        double r3632337 = r3632331 - r3632336;
        double r3632338 = sqrt(r3632337);
        double r3632339 = r3632330 + r3632338;
        double r3632340 = r3632339 / r3632334;
        return r3632340;
}

↓

double f(double a, double b, double c) {
        double r3632341 = -3.0;
        double r3632342 = a;
        double r3632343 = c;
        double r3632344 = r3632342 * r3632343;
        double r3632345 = b;
        double r3632346 = r3632345 * r3632345;
        double r3632347 = fma(r3632341, r3632344, r3632346);
        double r3632348 = sqrt(r3632347);
        double r3632349 = sqrt(r3632348);
        double r3632350 = -r3632345;
        double r3632351 = fma(r3632349, r3632349, r3632350);
        double r3632352 = cbrt(r3632351);
        double r3632353 = r3632352 * r3632352;
        double r3632354 = r3632352 * r3632353;
        double r3632355 = cbrt(r3632354);
        double r3632356 = r3632355 * r3632352;
        double r3632357 = 3.0;
        double r3632358 = r3632356 / r3632357;
        double r3632359 = cbrt(r3632352);
        double r3632360 = r3632359 * r3632359;
        double r3632361 = r3632359 * r3632360;
        double r3632362 = r3632361 / r3632342;
        double r3632363 = r3632358 * r3632362;
        return r3632363;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Derivation

1. Initial program 52.4

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

2. Simplified 52.4

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} - b}{3 \cdot a}}\]
3. Using strategy rm

4. Applied add-sqr-sqrt 52.4

   \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}} - b}{3 \cdot a}\]

5. Applied sqrt-prod 52.2

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}} - b}{3 \cdot a}\]

6. Applied fma-neg 51.6

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}{3 \cdot a}\]
7. Using strategy rm

8. Applied add-cube-cbrt 51.6

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}}{3 \cdot a}\]

9. Applied times-frac 51.6

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}{3} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}{a}}\]
10. Using strategy rm

11. Applied add-cube-cbrt 51.6

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}{3} \cdot \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}}}{a}\]
12. Using strategy rm

13. Applied add-cube-cbrt 51.6

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}}}{3} \cdot \frac{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}}{a}\]

14. Final simplification 51.6

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}{3} \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}\right)}{a}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019138 +o rules:numerics
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, wide range"
  :pre (and (< 4.930380657631324e-32 a 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 b 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 c 2.028240960365167e+31))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))