Quadratic roots, medium range

Average Error: 43.8 → 43.3

Time: 32.9s

Precision: 64

\[1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt a \lt 9007199254740992.0 \land 1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt b \lt 9007199254740992.0 \land 1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt c \lt 9007199254740992.0\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]

↓

\[\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{2}}{\sqrt{a}}\]

C

double f(double a, double b, double c) {
        double r2206317 = b;
        double r2206318 = -r2206317;
        double r2206319 = r2206317 * r2206317;
        double r2206320 = 4.0;
        double r2206321 = a;
        double r2206322 = r2206320 * r2206321;
        double r2206323 = c;
        double r2206324 = r2206322 * r2206323;
        double r2206325 = r2206319 - r2206324;
        double r2206326 = sqrt(r2206325);
        double r2206327 = r2206318 + r2206326;
        double r2206328 = 2.0;
        double r2206329 = r2206328 * r2206321;
        double r2206330 = r2206327 / r2206329;
        return r2206330;
}

↓

double f(double a, double b, double c) {
        double r2206331 = c;
        double r2206332 = a;
        double r2206333 = -4.0;
        double r2206334 = r2206332 * r2206333;
        double r2206335 = b;
        double r2206336 = r2206335 * r2206335;
        double r2206337 = fma(r2206331, r2206334, r2206336);
        double r2206338 = sqrt(r2206337);
        double r2206339 = sqrt(r2206338);
        double r2206340 = -r2206335;
        double r2206341 = fma(r2206339, r2206339, r2206340);
        double r2206342 = cbrt(r2206341);
        double r2206343 = r2206342 * r2206342;
        double r2206344 = sqrt(r2206332);
        double r2206345 = r2206343 / r2206344;
        double r2206346 = 2.0;
        double r2206347 = r2206342 / r2206346;
        double r2206348 = r2206347 / r2206344;
        double r2206349 = r2206345 * r2206348;
        return r2206349;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Derivation

1. Initial program 43.8

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]

2. Simplified 43.8

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)} - b}{2}}{a}}\]
3. Using strategy rm

4. Applied add-sqr-sqrt 43.8

   \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}} - b}{2}}{a}\]

5. Applied sqrt-prod 43.9

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}} - b}{2}}{a}\]

6. Applied fma-neg 43.3

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{2}}{a}\]
7. Using strategy rm

8. Applied add-sqr-sqrt 43.3

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}}{\color{blue}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}}\]

9. Applied *-un-lft-identity 43.3

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{\color{blue}{1 \cdot 2}}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}\]

10. Applied add-cube-cbrt 43.3

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}}{1 \cdot 2}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}\]

11. Applied times-frac 43.3

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{1} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{2}}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}\]

12. Applied times-frac 43.3

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{1}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{2}}{\sqrt{a}}}\]

13. Final simplification 43.3

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{2}}{\sqrt{a}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019133 +o rules:numerics
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, medium range"
  :pre (and (< 1.1102230246251565e-16 a 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 b 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 c 9007199254740992.0))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c)))) (* 2 a)))