Cubic critical, medium range

Average Error: 44.2 → 43.5

Time: 26.7s

Precision: 64

• unused variable d

\[1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt a \lt 9007199254740992.0 \land 1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt b \lt 9007199254740992.0 \land 1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt c \lt 9007199254740992.0\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

↓

\[\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{a} \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{3}\]

C

double f(double a, double b, double c, double __attribute__((unused)) d) {
        double r4004926 = b;
        double r4004927 = -r4004926;
        double r4004928 = r4004926 * r4004926;
        double r4004929 = 3.0;
        double r4004930 = a;
        double r4004931 = r4004929 * r4004930;
        double r4004932 = c;
        double r4004933 = r4004931 * r4004932;
        double r4004934 = r4004928 - r4004933;
        double r4004935 = sqrt(r4004934);
        double r4004936 = r4004927 + r4004935;
        double r4004937 = r4004936 / r4004931;
        return r4004937;
}

↓

double f(double a, double b, double c, double __attribute__((unused)) d) {
        double r4004938 = c;
        double r4004939 = a;
        double r4004940 = -3.0;
        double r4004941 = r4004939 * r4004940;
        double r4004942 = b;
        double r4004943 = r4004942 * r4004942;
        double r4004944 = fma(r4004938, r4004941, r4004943);
        double r4004945 = sqrt(r4004944);
        double r4004946 = sqrt(r4004945);
        double r4004947 = -r4004942;
        double r4004948 = fma(r4004946, r4004946, r4004947);
        double r4004949 = cbrt(r4004948);
        double r4004950 = r4004949 / r4004939;
        double r4004951 = r4004949 * r4004949;
        double r4004952 = r4004949 * r4004951;
        double r4004953 = cbrt(r4004952);
        double r4004954 = r4004953 * r4004949;
        double r4004955 = 3.0;
        double r4004956 = r4004954 / r4004955;
        double r4004957 = r4004950 * r4004956;
        return r4004957;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus d

Derivation

1. Initial program 44.2

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

2. Simplified 44.2

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)} - b}{3 \cdot a}}\]
3. Using strategy rm

4. Applied add-sqr-sqrt 44.1

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}} - b}{3 \cdot a}\]

5. Applied fma-neg 43.5

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]
6. Using strategy rm

7. Applied add-cube-cbrt 43.5

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}}{3 \cdot a}\]

8. Applied times-frac 43.5

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{3} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{a}}\]
9. Using strategy rm

10. Applied add-cube-cbrt 43.5

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{3} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{a}\]

11. Final simplification 43.5

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{a} \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{3}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019133 +o rules:numerics
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, medium range"
  :pre (and (< 1.1102230246251565e-16 a 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 b 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 c 9007199254740992.0))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))