Cubic critical, wide range

Average Error: 52.7 → 51.3

Time: 29.3s

Precision: 64

• unused variable d

\[4.930380657631324 \cdot 10^{-32} \lt a \lt 2.028240960365167 \cdot 10^{+31} \land 4.930380657631324 \cdot 10^{-32} \lt b \lt 2.028240960365167 \cdot 10^{+31} \land 4.930380657631324 \cdot 10^{-32} \lt c \lt 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

↓

\[\frac{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{{\left(\left(\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)}^{\frac{1}{3}}}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{{\left(\left(\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)}^{\frac{1}{3}}}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{{\left(\left(\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)}^{\frac{1}{3}}}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{a \cdot 3}\]

C

double f(double a, double b, double c, double __attribute__((unused)) d) {
        double r3618976 = b;
        double r3618977 = -r3618976;
        double r3618978 = r3618976 * r3618976;
        double r3618979 = 3.0;
        double r3618980 = a;
        double r3618981 = r3618979 * r3618980;
        double r3618982 = c;
        double r3618983 = r3618981 * r3618982;
        double r3618984 = r3618978 - r3618983;
        double r3618985 = sqrt(r3618984);
        double r3618986 = r3618977 + r3618985;
        double r3618987 = r3618986 / r3618981;
        return r3618987;
}

↓

double f(double a, double b, double c, double __attribute__((unused)) d) {
        double r3618988 = c;
        double r3618989 = a;
        double r3618990 = -3.0;
        double r3618991 = r3618989 * r3618990;
        double r3618992 = b;
        double r3618993 = r3618992 * r3618992;
        double r3618994 = fma(r3618988, r3618991, r3618993);
        double r3618995 = r3618994 * r3618994;
        double r3618996 = r3618995 * r3618994;
        double r3618997 = 0.3333333333333333;
        double r3618998 = pow(r3618996, r3618997);
        double r3618999 = sqrt(r3618998);
        double r3619000 = sqrt(r3618999);
        double r3619001 = sqrt(r3618994);
        double r3619002 = sqrt(r3619001);
        double r3619003 = -r3618992;
        double r3619004 = fma(r3619000, r3619002, r3619003);
        double r3619005 = cbrt(r3619004);
        double r3619006 = r3619005 * r3619005;
        double r3619007 = r3619006 * r3619005;
        double r3619008 = 3.0;
        double r3619009 = r3618989 * r3619008;
        double r3619010 = r3619007 / r3619009;
        return r3619010;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus d

Derivation

1. Initial program 52.7

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

2. Simplified 52.7

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)} - b}{3 \cdot a}}\]
3. Using strategy rm

4. Applied add-sqr-sqrt 52.7

   \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}} - b}{3 \cdot a}\]

5. Applied sqrt-prod 52.5

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}} - b}{3 \cdot a}\]

6. Applied fma-neg 51.9

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]
7. Using strategy rm

8. Applied add-cbrt-cube 52.0

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{3 \cdot a}\]
9. Using strategy rm

10. Applied pow1/3 51.3

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{{\left(\left(\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)}^{\frac{1}{3}}}}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{3 \cdot a}\]
11. Using strategy rm

12. Applied add-cube-cbrt 51.3

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{{\left(\left(\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)}^{\frac{1}{3}}}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{{\left(\left(\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)}^{\frac{1}{3}}}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{{\left(\left(\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)}^{\frac{1}{3}}}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-3 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}}{3 \cdot a}\]

13. Final simplification 51.3

    \[\leadsto \frac{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{{\left(\left(\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)}^{\frac{1}{3}}}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{{\left(\left(\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)}^{\frac{1}{3}}}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{{\left(\left(\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)}^{\frac{1}{3}}}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -3\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{a \cdot 3}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019133 +o rules:numerics
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, wide range"
  :pre (and (< 4.930380657631324e-32 a 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 b 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 c 2.028240960365167e+31))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))