_divideComplex, imaginary part

Average Error: 26.1 → 22.8

Time: 21.1s

Precision: 64

Math

\[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

↓

\[\frac{x.im \cdot \frac{y.re}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}} - \frac{y.im}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}} \cdot x.re}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}\]

C

double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r1762921 = x_im;
        double r1762922 = y_re;
        double r1762923 = r1762921 * r1762922;
        double r1762924 = x_re;
        double r1762925 = y_im;
        double r1762926 = r1762924 * r1762925;
        double r1762927 = r1762923 - r1762926;
        double r1762928 = r1762922 * r1762922;
        double r1762929 = r1762925 * r1762925;
        double r1762930 = r1762928 + r1762929;
        double r1762931 = r1762927 / r1762930;
        return r1762931;
}

↓

double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r1762932 = x_im;
        double r1762933 = y_re;
        double r1762934 = y_im;
        double r1762935 = r1762933 * r1762933;
        double r1762936 = fma(r1762934, r1762934, r1762935);
        double r1762937 = sqrt(r1762936);
        double r1762938 = r1762933 / r1762937;
        double r1762939 = r1762932 * r1762938;
        double r1762940 = r1762934 / r1762937;
        double r1762941 = x_re;
        double r1762942 = r1762940 * r1762941;
        double r1762943 = r1762939 - r1762942;
        double r1762944 = r1762943 / r1762937;
        return r1762944;
}

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

Derivation

1. Initial program 26.1

   \[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

2. Simplified 26.1

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}\]
3. Using strategy rm

4. Applied add-sqr-sqrt 26.1

   \[\leadsto \frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}}\]

5. Applied associate-/r* 26.1

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}}\]
6. Using strategy rm

7. Applied div-sub 26.1

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}\]
8. Using strategy rm

9. Applied *-un-lft-identity 26.1

   \[\leadsto \frac{\frac{x.im \cdot y.re}{\color{blue}{1 \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}\]

10. Applied times-frac 24.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{x.im}{1} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}\]

11. Simplified 24.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{x.im} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}\]
12. Using strategy rm

13. Applied *-un-lft-identity 24.5

    \[\leadsto \frac{x.im \cdot \frac{y.re}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}\]

14. Applied sqrt-prod 24.5

    \[\leadsto \frac{x.im \cdot \frac{y.re}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}\]

15. Applied times-frac 22.8

    \[\leadsto \frac{x.im \cdot \frac{y.re}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}} - \color{blue}{\frac{x.re}{\sqrt{1}} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}\]

16. Simplified 22.8

    \[\leadsto \frac{x.im \cdot \frac{y.re}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}} - \color{blue}{x.re} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}\]

17. Final simplification 22.8

    \[\leadsto \frac{x.im \cdot \frac{y.re}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}} - \frac{y.im}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}} \cdot x.re}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, \left(y.re \cdot y.re\right)\right)}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019133 +o rules:numerics
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "_divideComplex, imaginary part"
  (/ (- (* x.im y.re) (* x.re y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))