Average Error: 26.1 → 22.8
Time: 13.7s
Precision: 64
\[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
↓
\[\frac{\frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot x.im - x.re \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]
\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}
↓
\frac{\frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot x.im - x.re \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}
double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r2472701 = x_im;
        double r2472702 = y_re;
        double r2472703 = r2472701 * r2472702;
        double r2472704 = x_re;
        double r2472705 = y_im;
        double r2472706 = r2472704 * r2472705;
        double r2472707 = r2472703 - r2472706;
        double r2472708 = r2472702 * r2472702;
        double r2472709 = r2472705 * r2472705;
        double r2472710 = r2472708 + r2472709;
        double r2472711 = r2472707 / r2472710;
        return r2472711;
}
↓
double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r2472712 = y_re;
        double r2472713 = r2472712 * r2472712;
        double r2472714 = y_im;
        double r2472715 = r2472714 * r2472714;
        double r2472716 = r2472713 + r2472715;
        double r2472717 = sqrt(r2472716);
        double r2472718 = r2472712 / r2472717;
        double r2472719 = x_im;
        double r2472720 = r2472718 * r2472719;
        double r2472721 = x_re;
        double r2472722 = r2472714 / r2472717;
        double r2472723 = r2472721 * r2472722;
        double r2472724 = r2472720 - r2472723;
        double r2472725 = r2472724 / r2472717;
        return r2472725;
}

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

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Derivation

  1. Initial program 26.1

    \[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied add-sqr-sqrt26.1

    \[\leadsto \frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

  4. Applied associate-/r*26.1

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]
  5. Using strategy rm

  6. Applied div-sub26.1

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied *-un-lft-identity26.1

    \[\leadsto \frac{\frac{x.im \cdot y.re}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im\right)}}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

  9. Applied sqrt-prod26.1

    \[\leadsto \frac{\frac{x.im \cdot y.re}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

  10. Applied times-frac24.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{x.im}{\sqrt{1}} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

  11. Simplified24.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{x.im} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]
  12. Using strategy rm

  13. Applied *-un-lft-identity24.5

    \[\leadsto \frac{x.im \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im\right)}}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

  14. Applied sqrt-prod24.5

    \[\leadsto \frac{x.im \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

  15. Applied times-frac22.8

    \[\leadsto \frac{x.im \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \color{blue}{\frac{x.re}{\sqrt{1}} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

  16. Simplified22.8

    \[\leadsto \frac{x.im \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \color{blue}{x.re} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

  17. Final simplification22.8

    \[\leadsto \frac{\frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot x.im - x.re \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019133 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "_divideComplex, imaginary part"
  (/ (- (* x.im y.re) (* x.re y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))