Quadratic roots, medium range

Average Error: 43.8 → 43.2

Time: 31.9s

Precision: 64

\[1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt a \lt 9007199254740992.0 \land 1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt b \lt 9007199254740992.0 \land 1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt c \lt 9007199254740992.0\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]

↓

\[\frac{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}}}{\frac{a}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{\sqrt{2}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{\sqrt{2}}}}}\]

C

double f(double a, double b, double c) {
        double r1916288 = b;
        double r1916289 = -r1916288;
        double r1916290 = r1916288 * r1916288;
        double r1916291 = 4.0;
        double r1916292 = a;
        double r1916293 = r1916291 * r1916292;
        double r1916294 = c;
        double r1916295 = r1916293 * r1916294;
        double r1916296 = r1916290 - r1916295;
        double r1916297 = sqrt(r1916296);
        double r1916298 = r1916289 + r1916297;
        double r1916299 = 2.0;
        double r1916300 = r1916299 * r1916292;
        double r1916301 = r1916298 / r1916300;
        return r1916301;
}

↓

double f(double a, double b, double c) {
        double r1916302 = c;
        double r1916303 = a;
        double r1916304 = -4.0;
        double r1916305 = r1916303 * r1916304;
        double r1916306 = b;
        double r1916307 = r1916306 * r1916306;
        double r1916308 = fma(r1916302, r1916305, r1916307);
        double r1916309 = sqrt(r1916308);
        double r1916310 = sqrt(r1916309);
        double r1916311 = -r1916306;
        double r1916312 = fma(r1916310, r1916310, r1916311);
        double r1916313 = 2.0;
        double r1916314 = r1916312 / r1916313;
        double r1916315 = cbrt(r1916314);
        double r1916316 = r1916315 * r1916315;
        double r1916317 = cbrt(r1916312);
        double r1916318 = sqrt(r1916313);
        double r1916319 = r1916317 / r1916318;
        double r1916320 = cbrt(r1916319);
        double r1916321 = r1916317 * r1916317;
        double r1916322 = r1916317 * r1916321;
        double r1916323 = cbrt(r1916322);
        double r1916324 = r1916323 * r1916317;
        double r1916325 = r1916324 / r1916318;
        double r1916326 = cbrt(r1916325);
        double r1916327 = r1916320 * r1916326;
        double r1916328 = r1916303 / r1916327;
        double r1916329 = r1916316 / r1916328;
        return r1916329;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Derivation

1. Initial program 43.8

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]

2. Simplified 43.8

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)} - b}{2}}{a}}\]
3. Using strategy rm

4. Applied add-sqr-sqrt 43.8

   \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}} - b}{2}}{a}\]

5. Applied sqrt-prod 43.8

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}} - b}{2}}{a}\]

6. Applied fma-neg 43.2

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{2}}{a}\]
7. Using strategy rm

8. Applied add-cube-cbrt 43.2

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}}}}{a}\]

9. Applied associate-/l* 43.2

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}}}{\frac{a}{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}}}}}\]
10. Using strategy rm

11. Applied add-sqr-sqrt 43.2

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}}}{\frac{a}{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}}}}}\]

12. Applied add-cube-cbrt 43.2

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}}}{\frac{a}{\sqrt[3]{\frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}}}}\]

13. Applied times-frac 43.2

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}}}{\frac{a}{\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{\sqrt{2}}}}}}\]

14. Applied cbrt-prod 43.2

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}}}{\frac{a}{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{\sqrt{2}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{\sqrt{2}}}}}}\]
15. Using strategy rm

16. Applied add-cube-cbrt 43.2

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}}}{\frac{a}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}}}{\sqrt{2}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(-4 \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{\sqrt{2}}}}}\]

17. Final simplification 43.2

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}{2}}}{\frac{a}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{\sqrt{2}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c, \left(a \cdot -4\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{\sqrt{2}}}}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019132 +o rules:numerics
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, medium range"
  :pre (and (< 1.1102230246251565e-16 a 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 b 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 c 9007199254740992.0))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c)))) (* 2 a)))