Cubic critical, medium range

Average Error: 43.9 → 43.3

Time: 34.5s

Precision: 64

• unused variable d

\[1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt a \lt 9007199254740992.0 \land 1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt b \lt 9007199254740992.0 \land 1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt c \lt 9007199254740992.0\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

↓

\[\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{a} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{3}\]

C

double f(double a, double b, double c, double __attribute__((unused)) d) {
        double r9177168 = b;
        double r9177169 = -r9177168;
        double r9177170 = r9177168 * r9177168;
        double r9177171 = 3.0;
        double r9177172 = a;
        double r9177173 = r9177171 * r9177172;
        double r9177174 = c;
        double r9177175 = r9177173 * r9177174;
        double r9177176 = r9177170 - r9177175;
        double r9177177 = sqrt(r9177176);
        double r9177178 = r9177169 + r9177177;
        double r9177179 = r9177178 / r9177173;
        return r9177179;
}

↓

double f(double a, double b, double c, double __attribute__((unused)) d) {
        double r9177180 = -3.0;
        double r9177181 = a;
        double r9177182 = c;
        double r9177183 = r9177181 * r9177182;
        double r9177184 = b;
        double r9177185 = r9177184 * r9177184;
        double r9177186 = fma(r9177180, r9177183, r9177185);
        double r9177187 = sqrt(r9177186);
        double r9177188 = sqrt(r9177187);
        double r9177189 = -r9177184;
        double r9177190 = fma(r9177188, r9177188, r9177189);
        double r9177191 = cbrt(r9177190);
        double r9177192 = r9177191 / r9177181;
        double r9177193 = r9177191 * r9177191;
        double r9177194 = 3.0;
        double r9177195 = r9177193 / r9177194;
        double r9177196 = r9177192 * r9177195;
        return r9177196;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus d

Derivation

1. Initial program 43.9

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

2. Simplified 43.9

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(c \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)} - b}{3 \cdot a}}\]
3. Using strategy rm

4. Applied add-sqr-sqrt 43.9

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(c \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(c \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}} - b}{3 \cdot a}\]

5. Applied fma-neg 43.3

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(c \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(c \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]
6. Using strategy rm

7. Applied add-cube-cbrt 43.3

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(c \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(c \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(c \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(c \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(c \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(c \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}}{3 \cdot a}\]

8. Applied times-frac 43.3

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(c \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(c \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(c \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(c \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{3} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(c \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(c \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{a}}\]

9. Final simplification 43.3

   \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{a} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right), \left(b \cdot b\right)\right)}}\right), \left(-b\right)\right)}}{3}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019120 +o rules:numerics
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, medium range"
  :pre (and (< 1.1102230246251565e-16 a 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 b 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 c 9007199254740992.0))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))