Average Error: 28.4 → 9.3
Time: 1.4m
Precision: 64
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 3.1756143268028576:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left((b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right) \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*}\right) \cdot \left((b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right) - \left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot b}{\left(\left(\left((b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)\right) + \left((b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*}\right) \cdot \left((b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*}\right)\right) \cdot \left(\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + b \cdot b\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{c \cdot (\frac{-3}{2} \cdot b + \left(\left(\frac{c}{b} \cdot \frac{9}{8}\right) \cdot a\right))_*}{(b \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) + \left(b \cdot b + (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*}\\ \end{array}\]
double f(double a, double b, double c, double __attribute__((unused)) d) {
        double r26212661 = b;
        double r26212662 = -r26212661;
        double r26212663 = r26212661 * r26212661;
        double r26212664 = 3.0;
        double r26212665 = a;
        double r26212666 = r26212664 * r26212665;
        double r26212667 = c;
        double r26212668 = r26212666 * r26212667;
        double r26212669 = r26212663 - r26212668;
        double r26212670 = sqrt(r26212669);
        double r26212671 = r26212662 + r26212670;
        double r26212672 = r26212671 / r26212666;
        return r26212672;
}
↓
double f(double a, double b, double c, double __attribute__((unused)) d) {
        double r26212673 = b;
        double r26212674 = 3.1756143268028576;
        bool r26212675 = r26212673 <= r26212674;
        double r26212676 = a;
        double r26212677 = -3.0;
        double r26212678 = c;
        double r26212679 = r26212677 * r26212678;
        double r26212680 = r26212676 * r26212679;
        double r26212681 = fma(r26212673, r26212673, r26212680);
        double r26212682 = r26212681 * r26212681;
        double r26212683 = sqrt(r26212681);
        double r26212684 = r26212682 * r26212683;
        double r26212685 = r26212684 * r26212682;
        double r26212686 = r26212673 * r26212673;
        double r26212687 = r26212686 * r26212686;
        double r26212688 = r26212687 * r26212687;
        double r26212689 = r26212688 * r26212673;
        double r26212690 = r26212685 - r26212689;
        double r26212691 = r26212681 * r26212683;
        double r26212692 = r26212686 * r26212673;
        double r26212693 = r26212691 * r26212692;
        double r26212694 = r26212692 * r26212692;
        double r26212695 = r26212693 + r26212694;
        double r26212696 = r26212691 * r26212691;
        double r26212697 = r26212695 + r26212696;
        double r26212698 = 3.0;
        double r26212699 = r26212676 * r26212698;
        double r26212700 = r26212676 * r26212678;
        double r26212701 = fma(r26212677, r26212700, r26212686);
        double r26212702 = sqrt(r26212701);
        double r26212703 = r26212702 * r26212702;
        double r26212704 = r26212673 * r26212702;
        double r26212705 = r26212704 + r26212686;
        double r26212706 = r26212703 + r26212705;
        double r26212707 = r26212699 * r26212706;
        double r26212708 = r26212697 * r26212707;
        double r26212709 = r26212690 / r26212708;
        double r26212710 = -1.5;
        double r26212711 = r26212678 / r26212673;
        double r26212712 = 1.125;
        double r26212713 = r26212711 * r26212712;
        double r26212714 = r26212713 * r26212676;
        double r26212715 = fma(r26212710, r26212673, r26212714);
        double r26212716 = r26212678 * r26212715;
        double r26212717 = r26212686 + r26212701;
        double r26212718 = fma(r26212673, r26212702, r26212717);
        double r26212719 = r26212716 / r26212718;
        double r26212720 = r26212675 ? r26212709 : r26212719;
        return r26212720;
}


\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;b \le 3.1756143268028576:\\
\;\;\;\;\frac{\left(\left((b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right) \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*}\right) \cdot \left((b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right) - \left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot b}{\left(\left(\left((b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)\right) + \left((b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*}\right) \cdot \left((b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*}\right)\right) \cdot \left(\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + b \cdot b\right)\right)\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{c \cdot (\frac{-3}{2} \cdot b + \left(\left(\frac{c}{b} \cdot \frac{9}{8}\right) \cdot a\right))_*}{(b \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) + \left(b \cdot b + (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*}\\

\end{array}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus d

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if b < 3.1756143268028576

    1. Initial program 12.7

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

    2. Simplified12.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} - b}{3 \cdot a}}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip3--12.7

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

    5. Applied associate-/l/12.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}}\]

    6. Simplified12.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied flip3--12.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right)}^{3} - {\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}^{3}}{\left(\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right) \cdot \left(\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right) + \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

    9. Applied associate-/l/12.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right)}^{3} - {\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}^{3}}{\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right) \cdot \left(\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right) + \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}}\]

    10. Simplified12.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left((b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right) \cdot \left(\left((b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right) \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*}\right) - b \cdot \left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}{\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right) \cdot \left(\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right) + \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}\]

    if 3.1756143268028576 < b

    1. Initial program 32.2

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

    2. Simplified32.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} - b}{3 \cdot a}}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip3--32.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

    5. Applied associate-/l/32.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}}\]

    6. Simplified31.6

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

    7. Taylor expanded around inf 8.8

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{27}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{b} - \frac{9}{2} \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot c\right)\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

    8. Simplified8.8

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied associate-/r*8.8

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{3 \cdot a}}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}\]

    11. Simplified8.7

      \[\leadsto \frac{\frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{3 \cdot a}}{\color{blue}{(b \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) + \left(b \cdot b + (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*}}\]

    12. Taylor expanded around -inf 8.7

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{9}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{b} - \frac{3}{2} \cdot \left(b \cdot c\right)}}{(b \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) + \left(b \cdot b + (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*}\]

    13. Simplified8.7

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{(\frac{-3}{2} \cdot b + \left(\left(\frac{9}{8} \cdot \frac{c}{b}\right) \cdot a\right))_* \cdot c}}{(b \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) + \left(b \cdot b + (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification9.3

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 3.1756143268028576:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left((b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right) \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*}\right) \cdot \left((b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*\right) - \left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot b}{\left(\left(\left((b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)\right) + \left((b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*}\right) \cdot \left((b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*}\right)\right) \cdot \left(\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + b \cdot b\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{c \cdot (\frac{-3}{2} \cdot b + \left(\left(\frac{c}{b} \cdot \frac{9}{8}\right) \cdot a\right))_*}{(b \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) + \left(b \cdot b + (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019102 +o rules:numerics
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, narrow range"
  :pre (and (< 1.0536712127723509e-08 a 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 b 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 c 94906265.62425156))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))