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Precision: 64
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 4.600607789742402:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(\left(-3 \cdot c\right) \cdot a\right) \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(\left(-3 \cdot c\right) \cdot a\right))_*} + \sqrt{(b \cdot b + \left(\left(-3 \cdot c\right) \cdot a\right))_*} \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot b}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + b \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{(\left(\frac{-9}{2} \cdot b\right) \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(\frac{\left(c \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot a\right)}{\frac{b}{\frac{27}{8}}}\right))_*}{(\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot b + \left(b \cdot b + (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*} \cdot \frac{\frac{1}{3}}{a}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus d

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if b < 4.600607789742402

    1. Initial program 13.0

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

    2. Simplified13.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} - b}{3 \cdot a}}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip3--13.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

    5. Applied associate-/l/13.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}}\]

    6. Simplified12.5

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied fma-udef12.2

      \[\leadsto \frac{\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b + a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

    9. Applied distribute-rgt-in12.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right) \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*}\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

    if 4.600607789742402 < b

    1. Initial program 32.9

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

    2. Simplified32.9

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} - b}{3 \cdot a}}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip3--32.9

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

    5. Applied associate-/l/32.9

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}}\]

    6. Simplified32.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

    7. Taylor expanded around inf 8.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{27}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{b} - \frac{9}{2} \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot c\right)\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

    8. Simplified8.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied *-un-lft-identity8.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot (\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

    11. Applied times-frac8.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{3 \cdot a} \cdot \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}\]

    12. Simplified8.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{3}}{a}} \cdot \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}\]

    13. Simplified8.3

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{a} \cdot \color{blue}{\frac{(\left(b \cdot \frac{-9}{2}\right) \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(\frac{\left(c \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot a\right)}{\frac{b}{\frac{27}{8}}}\right))_*}{(\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot b + \left(b \cdot b + (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification9.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 4.600607789742402:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(\left(-3 \cdot c\right) \cdot a\right) \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(\left(-3 \cdot c\right) \cdot a\right))_*} + \sqrt{(b \cdot b + \left(\left(-3 \cdot c\right) \cdot a\right))_*} \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot b}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + b \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{(\left(\frac{-9}{2} \cdot b\right) \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(\frac{\left(c \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot a\right)}{\frac{b}{\frac{27}{8}}}\right))_*}{(\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot b + \left(b \cdot b + (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*} \cdot \frac{\frac{1}{3}}{a}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019100 +o rules:numerics
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, narrow range"
  :pre (and (< 1.0536712127723509e-08 a 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 b 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 c 94906265.62425156))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))