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Time: 1.6m
Precision: 64
\[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \le -1.292761992654777 \cdot 10^{+76}:\\ \;\;\;\;\frac{-x.re}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\\ \mathbf{elif}\;y.re \le 1.5418057255620893 \cdot 10^{+182}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x.re}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if y.re < -1.292761992654777e+76

    1. Initial program 37.5

      \[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    2. Simplified37.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt37.5

      \[\leadsto \frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\color{blue}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

    5. Applied associate-/r*37.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied *-un-lft-identity37.5

      \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\color{blue}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

    8. Applied *-un-lft-identity37.5

      \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\color{blue}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

    9. Applied *-un-lft-identity37.5

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 \cdot (x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

    10. Applied times-frac37.5

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{1} \cdot \frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

    11. Applied times-frac37.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{1}}{1} \cdot \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

    12. Simplified37.5

      \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

    13. Simplified25.3

      \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}\]

    14. Taylor expanded around -inf 17.9

      \[\leadsto 1 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot x.re}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\]

    15. Simplified17.9

      \[\leadsto 1 \cdot \frac{\color{blue}{-x.re}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\]

    if -1.292761992654777e+76 < y.re < 1.5418057255620893e+182

    1. Initial program 19.7

      \[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    2. Simplified19.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt19.7

      \[\leadsto \frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\color{blue}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

    5. Applied associate-/r*19.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied *-un-lft-identity19.6

      \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\color{blue}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

    8. Applied *-un-lft-identity19.6

      \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\color{blue}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

    9. Applied *-un-lft-identity19.6

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 \cdot (x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

    10. Applied times-frac19.6

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{1} \cdot \frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

    11. Applied times-frac19.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{1}}{1} \cdot \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

    12. Simplified19.6

      \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

    13. Simplified11.9

      \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}\]

    if 1.5418057255620893e+182 < y.re

    1. Initial program 43.5

      \[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    2. Simplified43.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt43.5

      \[\leadsto \frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\color{blue}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

    5. Applied associate-/r*43.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied *-un-lft-identity43.5

      \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\color{blue}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

    8. Applied *-un-lft-identity43.5

      \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\color{blue}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

    9. Applied *-un-lft-identity43.5

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 \cdot (x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

    10. Applied times-frac43.5

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{1} \cdot \frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}}{1 \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

    11. Applied times-frac43.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{1}}{1} \cdot \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

    12. Simplified43.5

      \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

    13. Simplified30.5

      \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}\]
    14. Using strategy rm

    15. Applied clear-num30.5

      \[\leadsto 1 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}}}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\]

    16. Taylor expanded around 0 11.5

      \[\leadsto 1 \cdot \frac{\color{blue}{x.re}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification13.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \le -1.292761992654777 \cdot 10^{+76}:\\ \;\;\;\;\frac{-x.re}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\\ \mathbf{elif}\;y.re \le 1.5418057255620893 \cdot 10^{+182}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x.re}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019100 +o rules:numerics
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "_divideComplex, real part"
  (/ (+ (* x.re y.re) (* x.im y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))