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Precision: 64
Internal Precision: 128
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0} \le 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0} \le 8.145165734708111 \cdot 10^{-89}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(-2 \cdot re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0} \le 2.256024632410694 \cdot 10^{+75}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) < 0.0

    1. Initial program 57.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--57.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/57.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div57.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified27.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    if 0.0 < (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) < 8.145165734708111e-89

    1. Initial program 54.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 30.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if 8.145165734708111e-89 < (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) < 2.256024632410694e+75

    1. Initial program 1.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    if 2.256024632410694e+75 < (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))

    1. Initial program 60.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 43.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification25.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0} \le 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0} \le 8.145165734708111 \cdot 10^{-89}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(-2 \cdot re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0} \le 2.256024632410694 \cdot 10^{+75}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019094 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))