Average Error: 0.4 → 0.3
Time: 5.1m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
↓
\[\frac{\frac{(\left(v \cdot v\right) \cdot -5 + 1)_*}{t}}{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \frac{\frac{(v \cdot v + 1)_*}{\pi}}{\sqrt{(\left(-6 \cdot v\right) \cdot v + 2)_*}}\]

Error

Bits error versus v

Bits error versus t

Derivation

  1. Initial program 0.4

    \[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]

  2. Simplified0.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{(-5 \cdot \left(v \cdot v\right) + 1)_*}{1 - v \cdot v}}{\sqrt{2 \cdot (\left(-v \cdot v\right) \cdot 3 + 1)_*} \cdot \left(t \cdot \pi\right)}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied associate-/r*0.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{(-5 \cdot \left(v \cdot v\right) + 1)_*}{1 - v \cdot v}}{\sqrt{2 \cdot (\left(-v \cdot v\right) \cdot 3 + 1)_*}}}{t \cdot \pi}}\]
  5. Using strategy rm

  6. Applied *-un-lft-identity0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{(-5 \cdot \left(v \cdot v\right) + 1)_*}{1 - v \cdot v}}{\color{blue}{1 \cdot \sqrt{2 \cdot (\left(-v \cdot v\right) \cdot 3 + 1)_*}}}}{t \cdot \pi}\]

  7. Applied flip--0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{(-5 \cdot \left(v \cdot v\right) + 1)_*}{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}{1 + v \cdot v}}}}{1 \cdot \sqrt{2 \cdot (\left(-v \cdot v\right) \cdot 3 + 1)_*}}}{t \cdot \pi}\]

  8. Applied associate-/r/0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\frac{(-5 \cdot \left(v \cdot v\right) + 1)_*}{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)}}{1 \cdot \sqrt{2 \cdot (\left(-v \cdot v\right) \cdot 3 + 1)_*}}}{t \cdot \pi}\]

  9. Applied times-frac0.4

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{(-5 \cdot \left(v \cdot v\right) + 1)_*}{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1} \cdot \frac{1 + v \cdot v}{\sqrt{2 \cdot (\left(-v \cdot v\right) \cdot 3 + 1)_*}}}}{t \cdot \pi}\]

  10. Applied times-frac0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{(-5 \cdot \left(v \cdot v\right) + 1)_*}{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1}}{t} \cdot \frac{\frac{1 + v \cdot v}{\sqrt{2 \cdot (\left(-v \cdot v\right) \cdot 3 + 1)_*}}}{\pi}}\]

  11. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{(\left(v \cdot v\right) \cdot -5 + 1)_*}{t}}{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}} \cdot \frac{\frac{1 + v \cdot v}{\sqrt{2 \cdot (\left(-v \cdot v\right) \cdot 3 + 1)_*}}}{\pi}\]

  12. Simplified0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{(\left(v \cdot v\right) \cdot -5 + 1)_*}{t}}{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{(v \cdot v + 1)_*}{\pi}}{\sqrt{(\left(v \cdot -6\right) \cdot v + 2)_*}}}\]

  13. Final simplification0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{(\left(v \cdot v\right) \cdot -5 + 1)_*}{t}}{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \frac{\frac{(v \cdot v + 1)_*}{\pi}}{\sqrt{(\left(-6 \cdot v\right) \cdot v + 2)_*}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019091 +o rules:numerics
(FPCore (v t)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)"
  (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (* (* (* PI t) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v)))))) (- 1 (* v v)))))