Average Error: 37.0 → 13.0

Time: 14.2s

Precision: 64

Internal Precision: 128

\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\sqrt{\left(re + \sqrt{re^2 + im^2}^*\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\]

Error

The X axis uses an exponential scale — Bits error versus `re`

Target

Original	37.0
Target	32.1
Herbie	13.0

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

Initial program 37.0
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
Simplified13.0
\[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re^2 + im^2}^* + re\right) \cdot 2.0}}\]
Final simplification13.0
\[\leadsto \sqrt{\left(re + \sqrt{re^2 + im^2}^*\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019091 +o rules:numerics
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))