Error

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -5.741069729192738e+171

   1. Initial program 44.4

      \[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

   2. Simplified44.4

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt44.4

      \[\leadsto \frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\color{blue}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

   5. Applied associate-/r*44.4

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied *-un-lft-identity44.4

      \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot (y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

   8. Applied sqrt-prod44.4

      \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

   9. Applied *-un-lft-identity44.4

      \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot (y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

   10. Applied sqrt-prod44.4

       \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

   11. Applied *-un-lft-identity44.4

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 \cdot (x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

   12. Applied times-frac44.4

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

   13. Applied times-frac44.4

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\sqrt{1}}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

   14. Simplified44.4

       \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

   15. Simplified29.5

       \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}\]

   16. Taylor expanded around -inf 12.9

       \[\leadsto 1 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot x.re}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\]

   17. Simplified12.9

       \[\leadsto 1 \cdot \frac{\color{blue}{-x.re}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\]

   if -5.741069729192738e+171 < y.re < 6.539484508112857e+120

   1. Initial program 19.1

      \[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

   2. Simplified19.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt19.1

      \[\leadsto \frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\color{blue}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

   5. Applied associate-/r*19.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied *-un-lft-identity19.0

      \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot (y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

   8. Applied sqrt-prod19.0

      \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

   9. Applied *-un-lft-identity19.0

      \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot (y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

   10. Applied sqrt-prod19.0

       \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

   11. Applied *-un-lft-identity19.0

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 \cdot (x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

   12. Applied times-frac19.0

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

   13. Applied times-frac19.0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\sqrt{1}}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

   14. Simplified19.0

       \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

   15. Simplified12.0

       \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}\]
   16. Using strategy rm

   17. Applied *-un-lft-identity12.0

       \[\leadsto 1 \cdot \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}{\color{blue}{1 \cdot \sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}\]

   18. Applied *-un-lft-identity12.0

       \[\leadsto 1 \cdot \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\color{blue}{1 \cdot \sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}}{1 \cdot \sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\]

   19. Applied *-un-lft-identity12.0

       \[\leadsto 1 \cdot \frac{\frac{\color{blue}{1 \cdot (x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}}{1 \cdot \sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}{1 \cdot \sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\]

   20. Applied times-frac12.0

       \[\leadsto 1 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{1}{1} \cdot \frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}}{1 \cdot \sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\]

   21. Applied times-frac12.0

       \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{1}}{1} \cdot \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\right)}\]

   22. Simplified12.0

       \[\leadsto 1 \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\right)\]

   if 6.539484508112857e+120 < y.re

   1. Initial program 43.2

      \[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

   2. Simplified43.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt43.2

      \[\leadsto \frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\color{blue}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

   5. Applied associate-/r*43.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied *-un-lft-identity43.2

      \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot (y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

   8. Applied sqrt-prod43.2

      \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

   9. Applied *-un-lft-identity43.2

      \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot (y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

   10. Applied sqrt-prod43.2

       \[\leadsto \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

   11. Applied *-un-lft-identity43.2

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 \cdot (x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

   12. Applied times-frac43.2

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

   13. Applied times-frac43.2

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\sqrt{1}}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}\]

   14. Simplified43.2

       \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot \frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}}{\sqrt{(y.im \cdot y.im + \left(y.re \cdot y.re\right))_*}}\]

   15. Simplified27.6

       \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}\]

   16. Taylor expanded around inf 14.8

       \[\leadsto 1 \cdot \frac{\color{blue}{x.re}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification12.5

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \le -5.741069729192738 \cdot 10^{+171}:\\ \;\;\;\;\frac{-x.re}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\\ \mathbf{elif}\;y.re \le 6.539484508112857 \cdot 10^{+120}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{(x.re \cdot y.re + \left(x.im \cdot y.im\right))_*}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x.re}{\sqrt{y.im^2 + y.re^2}^*}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019090 +o rules:numerics
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "_divideComplex, real part"
  (/ (+ (* x.re y.re) (* x.im y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))