Average Error: 0.5 → 0.4
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Precision: 64
Internal Precision: 128
\[x1 + \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(2 \cdot x1\right) \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1}\right) \cdot \left(\frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1} - 3\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot \left(4 \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1} - 6\right)\right) \cdot \left(x1 \cdot x1 + 1\right) + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right) \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1}\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot x1\right) + x1\right) + 3 \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 - 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1}\right)\]
↓
\[(3 \cdot \left(\frac{\left(x1 \cdot 3\right) \cdot x1 - (x2 \cdot 2 + x1)_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + x1)_* + \left(x1 \cdot (x1 \cdot x1 + 1)_* + (\left((\left(\left(-3 + \frac{(2 \cdot x2 + \left(\left(x1 \cdot 3\right) \cdot x1 - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) \cdot x1\right) \cdot \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(\left(x1 \cdot 3\right) \cdot x1 - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} \cdot 2\right) + \left(\left(\sqrt[3]{x1} \cdot \sqrt[3]{x1}\right) \cdot \left(\left(x1 \cdot \sqrt[3]{x1}\right) \cdot (4 \cdot \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(\left(x1 \cdot 3\right) \cdot x1 - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + -6)_*\right)\right))_*\right) \cdot \left((x1 \cdot x1 + 1)_*\right) + \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(\left(x1 \cdot 3\right) \cdot x1 - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} \cdot \left(\left(x1 \cdot 3\right) \cdot x1\right)\right))_*\right)\]

Error

Bits error versus x1

Bits error versus x2

Derivation

  1. Initial program 0.5

    \[x1 + \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(2 \cdot x1\right) \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1}\right) \cdot \left(\frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1} - 3\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot \left(4 \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1} - 6\right)\right) \cdot \left(x1 \cdot x1 + 1\right) + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right) \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 + 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1}\right) + \left(x1 \cdot x1\right) \cdot x1\right) + x1\right) + 3 \cdot \frac{\left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 - 2 \cdot x2\right) - x1}{x1 \cdot x1 + 1}\right)\]

  2. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{x1 + (3 \cdot \left(\frac{\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 - (2 \cdot x2 + x1)_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + \left((x1 \cdot \left(x1 \cdot x1\right) + \left((\left(\frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) \cdot \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right) + \left((x1 \cdot x1 + 1)_* \cdot (\left((\left(\frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) \cdot 4 + -6)_*\right) \cdot \left(x1 \cdot x1\right) + \left(\left(\frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} - 3\right) \cdot \left(\left(x1 \cdot 2\right) \cdot \frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right)\right))_*\right))_*\right))_* + x1\right))_*}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied add-sqr-sqrt0.3

    \[\leadsto x1 + (3 \cdot \left(\frac{\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 - (2 \cdot x2 + x1)_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + \left((x1 \cdot \left(x1 \cdot x1\right) + \left((\left(\frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) \cdot \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right) + \left((x1 \cdot x1 + 1)_* \cdot (\left((\left(\frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) \cdot 4 + -6)_*\right) \cdot \left(x1 \cdot x1\right) + \left(\left(\frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} - \color{blue}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\right) \cdot \left(\left(x1 \cdot 2\right) \cdot \frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right)\right))_*\right))_*\right))_* + x1\right))_*\]

  5. Applied *-un-lft-identity0.3

    \[\leadsto x1 + (3 \cdot \left(\frac{\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 - (2 \cdot x2 + x1)_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + \left((x1 \cdot \left(x1 \cdot x1\right) + \left((\left(\frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) \cdot \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right) + \left((x1 \cdot x1 + 1)_* \cdot (\left((\left(\frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) \cdot 4 + -6)_*\right) \cdot \left(x1 \cdot x1\right) + \left(\left(\color{blue}{1 \cdot \frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\right) \cdot \left(\left(x1 \cdot 2\right) \cdot \frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right)\right))_*\right))_*\right))_* + x1\right))_*\]

  6. Applied prod-diff0.3

    \[\leadsto x1 + (3 \cdot \left(\frac{\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 - (2 \cdot x2 + x1)_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + \left((x1 \cdot \left(x1 \cdot x1\right) + \left((\left(\frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) \cdot \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right) + \left((x1 \cdot x1 + 1)_* \cdot (\left((\left(\frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) \cdot 4 + -6)_*\right) \cdot \left(x1 \cdot x1\right) + \left(\color{blue}{\left((1 \cdot \left(\frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + \left(-\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\right))_* + (\left(-\sqrt{3}\right) \cdot \left(\sqrt{3}\right) + \left(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\right))_*\right)} \cdot \left(\left(x1 \cdot 2\right) \cdot \frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right)\right))_*\right))_*\right))_* + x1\right))_*\]

  7. Simplified0.3

    \[\leadsto x1 + (3 \cdot \left(\frac{\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1 - (2 \cdot x2 + x1)_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + \left((x1 \cdot \left(x1 \cdot x1\right) + \left((\left(\frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) \cdot \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right) + \left((x1 \cdot x1 + 1)_* \cdot (\left((\left(\frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) \cdot 4 + -6)_*\right) \cdot \left(x1 \cdot x1\right) + \left(\left((1 \cdot \left(\frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + \left(-\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\right))_* + \color{blue}{0}\right) \cdot \left(\left(x1 \cdot 2\right) \cdot \frac{(x2 \cdot 2 + \left(\left(3 \cdot x1\right) \cdot x1\right))_* - x1}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right)\right))_*\right))_*\right))_* + x1\right))_*\]

  8. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\left((x1 \cdot x1 + 1)_* \cdot x1 + (\left((\left(\left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} + -3\right) \cdot x1\right) \cdot \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} \cdot 2\right) + \left(\left(x1 \cdot x1\right) \cdot (4 \cdot \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + -6)_*\right))_*\right) \cdot \left((x1 \cdot x1 + 1)_*\right) + \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} \cdot \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right)\right)\right))_*\right) + (3 \cdot \left(\frac{x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - (x2 \cdot 2 + x1)_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + x1)_*}\]
  9. Using strategy rm

  10. Applied add-cube-cbrt0.4

    \[\leadsto \left((x1 \cdot x1 + 1)_* \cdot x1 + (\left((\left(\left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} + -3\right) \cdot x1\right) \cdot \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} \cdot 2\right) + \left(\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{x1} \cdot \sqrt[3]{x1}\right) \cdot \sqrt[3]{x1}\right)} \cdot x1\right) \cdot (4 \cdot \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + -6)_*\right))_*\right) \cdot \left((x1 \cdot x1 + 1)_*\right) + \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} \cdot \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right)\right)\right))_*\right) + (3 \cdot \left(\frac{x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - (x2 \cdot 2 + x1)_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + x1)_*\]

  11. Applied associate-*l*0.4

    \[\leadsto \left((x1 \cdot x1 + 1)_* \cdot x1 + (\left((\left(\left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} + -3\right) \cdot x1\right) \cdot \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} \cdot 2\right) + \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{x1} \cdot \sqrt[3]{x1}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x1} \cdot x1\right)\right)} \cdot (4 \cdot \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + -6)_*\right))_*\right) \cdot \left((x1 \cdot x1 + 1)_*\right) + \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} \cdot \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right)\right)\right))_*\right) + (3 \cdot \left(\frac{x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - (x2 \cdot 2 + x1)_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + x1)_*\]

  12. Applied associate-*l*0.4

    \[\leadsto \left((x1 \cdot x1 + 1)_* \cdot x1 + (\left((\left(\left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} + -3\right) \cdot x1\right) \cdot \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{x1} \cdot \sqrt[3]{x1}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x1} \cdot x1\right) \cdot (4 \cdot \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + -6)_*\right)\right)})_*\right) \cdot \left((x1 \cdot x1 + 1)_*\right) + \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} \cdot \left(x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right)\right)\right))_*\right) + (3 \cdot \left(\frac{x1 \cdot \left(x1 \cdot 3\right) - (x2 \cdot 2 + x1)_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + x1)_*\]

  13. Final simplification0.4

    \[\leadsto (3 \cdot \left(\frac{\left(x1 \cdot 3\right) \cdot x1 - (x2 \cdot 2 + x1)_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + x1)_* + \left(x1 \cdot (x1 \cdot x1 + 1)_* + (\left((\left(\left(-3 + \frac{(2 \cdot x2 + \left(\left(x1 \cdot 3\right) \cdot x1 - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) \cdot x1\right) \cdot \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(\left(x1 \cdot 3\right) \cdot x1 - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} \cdot 2\right) + \left(\left(\sqrt[3]{x1} \cdot \sqrt[3]{x1}\right) \cdot \left(\left(x1 \cdot \sqrt[3]{x1}\right) \cdot (4 \cdot \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(\left(x1 \cdot 3\right) \cdot x1 - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*}\right) + -6)_*\right)\right))_*\right) \cdot \left((x1 \cdot x1 + 1)_*\right) + \left(\frac{(2 \cdot x2 + \left(\left(x1 \cdot 3\right) \cdot x1 - x1\right))_*}{(x1 \cdot x1 + 1)_*} \cdot \left(\left(x1 \cdot 3\right) \cdot x1\right)\right))_*\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019088 +o rules:numerics
(FPCore (x1 x2)
  :name "Rosa's FloatVsDoubleBenchmark"
  (+ x1 (+ (+ (+ (+ (* (+ (* (* (* 2 x1) (/ (- (+ (* (* 3 x1) x1) (* 2 x2)) x1) (+ (* x1 x1) 1))) (- (/ (- (+ (* (* 3 x1) x1) (* 2 x2)) x1) (+ (* x1 x1) 1)) 3)) (* (* x1 x1) (- (* 4 (/ (- (+ (* (* 3 x1) x1) (* 2 x2)) x1) (+ (* x1 x1) 1))) 6))) (+ (* x1 x1) 1)) (* (* (* 3 x1) x1) (/ (- (+ (* (* 3 x1) x1) (* 2 x2)) x1) (+ (* x1 x1) 1)))) (* (* x1 x1) x1)) x1) (* 3 (/ (- (- (* (* 3 x1) x1) (* 2 x2)) x1) (+ (* x1 x1) 1))))))