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Time: 2.1m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\varepsilon \le -5.664582333052552 \cdot 10^{-33}:\\ \;\;\;\;(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) + \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right))_* \cdot \frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)} + \left(\frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)} - \tan x\right)\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \le 7.443619008296186 \cdot 10^{-54}:\\ \;\;\;\;(\left((\varepsilon \cdot \frac{1}{3} + x)_*\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \varepsilon)_*\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) + \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right))_* \cdot \frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)} + \left(\frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)} - \tan x\right)\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Target

Original37.2
Target15.8
Herbie13.3
\[\frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)}\]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if eps < -5.664582333052552e-33 or 7.443619008296186e-54 < eps

    1. Initial program 30.7

      \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied tan-sum3.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied add-cube-cbrt3.6

      \[\leadsto \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \sqrt[3]{\tan x}\right) \cdot \sqrt[3]{\tan x}}\]

    6. Applied flip3--3.6

      \[\leadsto \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{\color{blue}{\frac{{1}^{3} - {\left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right) + 1 \cdot \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right)}}} - \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \sqrt[3]{\tan x}\right) \cdot \sqrt[3]{\tan x}\]

    7. Applied associate-/r/3.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{{1}^{3} - {\left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)}^{3}} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right) + 1 \cdot \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right)\right)} - \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \sqrt[3]{\tan x}\right) \cdot \sqrt[3]{\tan x}\]

    8. Applied prod-diff3.6

      \[\leadsto \color{blue}{(\left(\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{{1}^{3} - {\left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)}^{3}}\right) \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right) + 1 \cdot \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right)\right) + \left(-\sqrt[3]{\tan x} \cdot \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \sqrt[3]{\tan x}\right)\right))_* + (\left(-\sqrt[3]{\tan x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \sqrt[3]{\tan x}\right) + \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \sqrt[3]{\tan x}\right)\right))_*}\]

    9. Simplified3.2

      \[\leadsto \color{blue}{\left((\left(\frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right)}\right) \cdot \left((\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) + \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right))_*\right) + \left(\frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right)}\right))_* - \tan x\right)} + (\left(-\sqrt[3]{\tan x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \sqrt[3]{\tan x}\right) + \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \sqrt[3]{\tan x}\right)\right))_*\]

    10. Simplified3.3

      \[\leadsto \left((\left(\frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right)}\right) \cdot \left((\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) + \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right))_*\right) + \left(\frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right)}\right))_* - \tan x\right) + \color{blue}{0}\]
    11. Using strategy rm

    12. Applied fma-udef3.3

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right)} \cdot (\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) + \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right))_* + \frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right)}\right)} - \tan x\right) + 0\]

    13. Applied associate--l+2.9

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right)} \cdot (\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) + \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right))_* + \left(\frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right)} - \tan x\right)\right)} + 0\]

    if -5.664582333052552e-33 < eps < 7.443619008296186e-54

    1. Initial program 46.1

      \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied tan-sum46.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied add-cube-cbrt46.9

      \[\leadsto \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \sqrt[3]{\tan x}\right) \cdot \sqrt[3]{\tan x}}\]

    6. Applied flip3--46.9

      \[\leadsto \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{\color{blue}{\frac{{1}^{3} - {\left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right) + 1 \cdot \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right)}}} - \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \sqrt[3]{\tan x}\right) \cdot \sqrt[3]{\tan x}\]

    7. Applied associate-/r/46.9

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{{1}^{3} - {\left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)}^{3}} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right) + 1 \cdot \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right)\right)} - \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \sqrt[3]{\tan x}\right) \cdot \sqrt[3]{\tan x}\]

    8. Applied prod-diff47.0

      \[\leadsto \color{blue}{(\left(\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{{1}^{3} - {\left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)}^{3}}\right) \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right) + 1 \cdot \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right)\right) + \left(-\sqrt[3]{\tan x} \cdot \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \sqrt[3]{\tan x}\right)\right))_* + (\left(-\sqrt[3]{\tan x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \sqrt[3]{\tan x}\right) + \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \sqrt[3]{\tan x}\right)\right))_*}\]

    9. Simplified46.9

      \[\leadsto \color{blue}{\left((\left(\frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right)}\right) \cdot \left((\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) + \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right))_*\right) + \left(\frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right)}\right))_* - \tan x\right)} + (\left(-\sqrt[3]{\tan x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \sqrt[3]{\tan x}\right) + \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \left(\sqrt[3]{\tan x} \cdot \sqrt[3]{\tan x}\right)\right))_*\]

    10. Simplified46.1

      \[\leadsto \left((\left(\frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right)}\right) \cdot \left((\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) + \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right))_*\right) + \left(\frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right)}\right))_* - \tan x\right) + \color{blue}{0}\]

    11. Taylor expanded around 0 27.6

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot {\varepsilon}^{2} + \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{3} + \varepsilon\right)\right)} + 0\]

    12. Simplified27.6

      \[\leadsto \color{blue}{(\left((\varepsilon \cdot \frac{1}{3} + x)_*\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \varepsilon)_*} + 0\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification13.3

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\varepsilon \le -5.664582333052552 \cdot 10^{-33}:\\ \;\;\;\;(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) + \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right))_* \cdot \frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)} + \left(\frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)} - \tan x\right)\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \le 7.443619008296186 \cdot 10^{-54}:\\ \;\;\;\;(\left((\varepsilon \cdot \frac{1}{3} + x)_*\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \varepsilon)_*\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) + \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right))_* \cdot \frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)} + \left(\frac{\tan \varepsilon + \tan x}{1 - \left(\left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)\right) \cdot \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x\right)} - \tan x\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019088 +o rules:numerics
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"

  :herbie-target
  (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))