Average Error: 58.2 → 0.8
Time: 1.9m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\]
↓
\[(\left({im}^{5}\right) \cdot \frac{-1}{60} + \left(im \cdot -2 + im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right))_* \cdot \left(0.5 \cdot \cos re\right)\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original58.2
Target0.3
Herbie0.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| \lt 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(\frac{1}{6} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{120} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Initial program 58.2

    \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\]

  2. Taylor expanded around 0 0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(\frac{1}{3} \cdot {im}^{3} + \left(\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + 2 \cdot im\right)\right)\right)}\]

  3. Simplified0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{(\left({im}^{5}\right) \cdot \frac{-1}{60} + \left(im \cdot \left(\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot im - 2\right)\right))_*}\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied sub-neg0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot (\left({im}^{5}\right) \cdot \frac{-1}{60} + \left(im \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot im + \left(-2\right)\right)}\right))_*\]

  6. Applied distribute-rgt-in0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot (\left({im}^{5}\right) \cdot \frac{-1}{60} + \color{blue}{\left(\left(\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im + \left(-2\right) \cdot im\right)})_*\]

  7. Simplified0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot (\left({im}^{5}\right) \cdot \frac{-1}{60} + \left(\left(\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im + \color{blue}{-2 \cdot im}\right))_*\]

  8. Final simplification0.8

    \[\leadsto (\left({im}^{5}\right) \cdot \frac{-1}{60} + \left(im \cdot -2 + im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right))_* \cdot \left(0.5 \cdot \cos re\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019072 +o rules:numerics
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 1/6 im) im) im)) (* (* (* (* (* 1/120 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im))))