Average Error: 30.9 → 11.0
Time: 4.3m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.im \le -1.3914668984670724 \cdot 10^{+110}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot y.im\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right)\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot y.im\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right)\right)}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot y.im\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right)\right)}\right)}\right)\\ \mathbf{elif}\;x.im \le -1.1279888535619454 \cdot 10^{-41}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\\ \mathbf{elif}\;x.im \le 5.086844512734429 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;e^{\log \left(-x.re\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.im \cdot \log \left(-x.re\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \log x.im \cdot y.im\right) \cdot e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if x.im < -1.3914668984670724e+110

    1. Initial program 52.3

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    2. Taylor expanded around -inf 20.8

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \color{blue}{\left(-1 \cdot x.re\right)} \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    3. Simplified20.8

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \color{blue}{\left(-x.re\right)} \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied add-cube-cbrt20.8

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right)} \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    6. Applied associate-*l*20.8

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot y.im\right)} + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied add-cbrt-cube20.8

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot y.im\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied add-cube-cbrt20.8

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sin \left(\sqrt[3]{\left(\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot y.im\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\sin \left(\sqrt[3]{\left(\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot y.im\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sin \left(\sqrt[3]{\left(\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot y.im\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}\right)}\]

    if -1.3914668984670724e+110 < x.im < -1.1279888535619454e-41

    1. Initial program 15.7

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt15.7

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}}\right)} \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    if -1.1279888535619454e-41 < x.im < 5.086844512734429e-11

    1. Initial program 23.7

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    2. Taylor expanded around -inf 11.4

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \color{blue}{\left(-1 \cdot x.re\right)} \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    3. Simplified11.4

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \color{blue}{\left(-x.re\right)} \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    4. Taylor expanded around -inf 4.1

      \[\leadsto e^{\log \color{blue}{\left(-1 \cdot x.re\right)} \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(-x.re\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    5. Simplified4.1

      \[\leadsto e^{\log \color{blue}{\left(-x.re\right)} \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(-x.re\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    if 5.086844512734429e-11 < x.im

    1. Initial program 37.7

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    2. Taylor expanded around 0 15.3

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + y.im \cdot \log x.im\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification11.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.im \le -1.3914668984670724 \cdot 10^{+110}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot y.im\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right)\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot y.im\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right)\right)}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot y.im\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right)}\right)\right)}\right)}\right)\\ \mathbf{elif}\;x.im \le -1.1279888535619454 \cdot 10^{-41}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\\ \mathbf{elif}\;x.im \le 5.086844512734429 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;e^{\log \left(-x.re\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.im \cdot \log \left(-x.re\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \log x.im \cdot y.im\right) \cdot e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019072 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "powComplex, imaginary part"
  (* (exp (- (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im))) (sin (+ (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re)))))