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Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\]
↓
\[\frac{\left(1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{(-6 \cdot \left(v \cdot v\right) + 2)_*}}{(\left((\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + \left(v \cdot v\right))_*\right) \cdot 4 + 4)_*}\]

Error

Bits error versus v

Derivation

  1. Initial program 0.0

    \[\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied flip3--0.0

    \[\leadsto \left(\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\]

  4. Applied associate-*l/0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{4}} \cdot \frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\]

  5. Applied frac-times0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)}{4 \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}\]

  6. Simplified0.0

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(v \cdot v\right) + 1)_*} \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{4 \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\]

  7. Simplified0.0

    \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(v \cdot v\right) + 1)_*} \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}{\color{blue}{(\left((\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + \left(v \cdot v\right))_*\right) \cdot 4 + 4)_*}}\]
  8. Using strategy rm

  9. Applied sqrt-unprod0.0

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{(-3 \cdot \left(v \cdot v\right) + 1)_* \cdot 2}} \cdot \left(1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}{(\left((\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + \left(v \cdot v\right))_*\right) \cdot 4 + 4)_*}\]

  10. Simplified0.0

    \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{(-6 \cdot \left(v \cdot v\right) + 2)_*}} \cdot \left(1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}{(\left((\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + \left(v \cdot v\right))_*\right) \cdot 4 + 4)_*}\]

  11. Final simplification0.0

    \[\leadsto \frac{\left(1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{(-6 \cdot \left(v \cdot v\right) + 2)_*}}{(\left((\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + \left(v \cdot v\right))_*\right) \cdot 4 + 4)_*}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019068 +o rules:numerics
(FPCore (v)
  :name "Falkner and Boettcher, Appendix B, 2"
  (* (* (/ (sqrt 2) 4) (sqrt (- 1 (* 3 (* v v))))) (- 1 (* v v))))