Average Error: 52.9 → 51.3
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Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
↓
\[\frac{\sqrt[3]{(\left(\sqrt{{\left((-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right)}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*} \cdot \left(\sqrt[3]{(\left(\sqrt{{\left((-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right)}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*} \cdot \sqrt[3]{(\left(\sqrt{{\left((-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right)}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}\right)}{a \cdot 3}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus d

Derivation

  1. Initial program 52.9

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

  2. Simplified52.9

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} - b}{3 \cdot a}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied add-cube-cbrt52.9

    \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt[3]{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot \sqrt[3]{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}} - b}{3 \cdot a}\]

  5. Applied sqrt-prod52.9

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt[3]{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}} - b}{3 \cdot a}\]

  6. Applied fma-neg52.6

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{(\left(\sqrt{\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt[3]{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}}{3 \cdot a}\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied pow1/351.3

    \[\leadsto \frac{(\left(\sqrt{\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \color{blue}{{\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}{3 \cdot a}\]
  9. Using strategy rm

  10. Applied add-sqr-sqrt51.3

    \[\leadsto \frac{(\left(\sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}} \cdot {\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}{3 \cdot a}\]

  11. Applied cbrt-prod51.3

    \[\leadsto \frac{(\left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right)} \cdot {\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}{3 \cdot a}\]
  12. Using strategy rm

  13. Applied add-cube-cbrt51.3

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{(\left(\sqrt{\left(\sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot {\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*} \cdot \sqrt[3]{(\left(\sqrt{\left(\sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot {\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}\right) \cdot \sqrt[3]{(\left(\sqrt{\left(\sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot {\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}}}{3 \cdot a}\]

  14. Final simplification51.3

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{(\left(\sqrt{{\left((-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right)}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*} \cdot \left(\sqrt[3]{(\left(\sqrt{{\left((-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right)}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*} \cdot \sqrt[3]{(\left(\sqrt{{\left((-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right)}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}\right)}{a \cdot 3}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019068 +o rules:numerics
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, wide range"
  :pre (and (< 4.930380657631324e-32 a 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 b 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 c 2.028240960365167e+31))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))