Average Error: 52.8 → 52.1
Time: 31.0s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
↓
\[\frac{\sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*} \cdot \sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}}{\frac{a \cdot 3}{\sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}}}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus d

Derivation

  1. Initial program 52.8

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

  2. Simplified52.8

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} - b}{3 \cdot a}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied add-sqr-sqrt52.8

    \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}} - b}{3 \cdot a}\]

  5. Applied sqrt-prod52.6

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}} \cdot \sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}} - b}{3 \cdot a}\]

  6. Applied fma-neg52.0

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}}{3 \cdot a}\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied add-cube-cbrt52.1

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*} \cdot \sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}\right) \cdot \sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}}}{3 \cdot a}\]

  9. Applied associate-/l*52.1

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*} \cdot \sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}}}}\]
  10. Using strategy rm

  11. Applied *-commutative52.1

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*} \cdot \sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}}}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}}}\]

  12. Final simplification52.1

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*} \cdot \sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}}{\frac{a \cdot 3}{\sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019053 +o rules:numerics
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, wide range"
  :pre (and (< 4.930380657631324e-32 a 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 b 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 c 2.028240960365167e+31))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))