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Internal Precision: 128
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \le -2.2483460961433066 \cdot 10^{-287}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \le 0.0:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \le 3.959811165743931 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) < -2.2483460961433066e-287 or 3.959811165743931e+153 < (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)

    1. Initial program 61.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-exp-log61.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}} - re\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied add-cube-cbrt61.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(e^{\log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}} - re\right)}\]

    6. Applied log-prod61.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(e^{\color{blue}{\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}} - re\right)}\]

    7. Applied exp-sum61.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} \cdot e^{\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}} - re\right)}\]

    8. Simplified61.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} \cdot e^{\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} - re\right)}\]

    9. Taylor expanded around 0 44.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(im - re\right)}}\]

    if -2.2483460961433066e-287 < (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) < 0.0

    1. Initial program 57.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--57.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/57.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div57.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified27.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    if 0.0 < (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) < 3.959811165743931e+153

    1. Initial program 4.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification26.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \le -2.2483460961433066 \cdot 10^{-287}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \le 0.0:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \le 3.959811165743931 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019053 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))