Error

Derivation

1. Initial program 0.4

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5\]

2. Simplified0.4

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\]
3. Using strategy rm

4. Applied add-cbrt-cube0.4

   \[\leadsto 0.5 + {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}}\]

5. Applied add-cbrt-cube0.5

   \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{\sqrt[3]{\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}}} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\]

6. Applied cbrt-unprod0.5

   \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \left(\left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}}\]
7. Using strategy rm

8. Applied pow-prod-down0.5

   \[\leadsto 0.5 + \sqrt[3]{\left(\color{blue}{{\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{0.5}} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \left(\left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}\]
9. Using strategy rm

10. Applied add-cbrt-cube0.5

    \[\leadsto 0.5 + \sqrt[3]{\left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{0.5} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \left(\left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}}\right)}\]

11. Applied add-cbrt-cube0.5

    \[\leadsto 0.5 + \sqrt[3]{\left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{0.5} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)}\]

12. Applied cbrt-unprod0.5

    \[\leadsto 0.5 + \sqrt[3]{\left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{0.5} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}}}\]

13. Applied add-cbrt-cube0.5

    \[\leadsto 0.5 + \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{0.5} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{0.5} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot \left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{0.5} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right)}} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(\left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}}\]

14. Applied cbrt-unprod0.5

    \[\leadsto 0.5 + \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{0.5} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{0.5} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot \left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{0.5} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}}\]

15. Simplified0.5

    \[\leadsto 0.5 + \sqrt[3]{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\left(\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot {\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{0.5}\right)\right)\right) \cdot \left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot {\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{0.5}\right) \cdot \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot {\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{0.5}\right)\right)}}}\]

16. Final simplification0.5

    \[\leadsto \sqrt[3]{\sqrt[3]{\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) \cdot \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot {\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{0.5}\right)\right)\right) \cdot \left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot {\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{0.5}\right) \cdot \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot {\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{0.5}\right)\right)}} + 0.5\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019050 
(FPCore (u1 u2)
  :name "normal distribution"
  :pre (and (<= 0 u1 1) (<= 0 u2 1))
  (+ (* (* (/ 1 6) (pow (* -2 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2 PI) u2))) 0.5))