Average Error: 0.4 → 0.4
Time: 5.5m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
↓
\[\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{1 - v \cdot v} \cdot \left(\frac{\sqrt{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6}}}}{\frac{t}{\sqrt[3]{\sqrt{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}} \cdot \frac{\sqrt{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6}}}}{\frac{\pi}{\sqrt[3]{\sqrt{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}}\right)\]

Error

Bits error versus v

Bits error versus t

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Derivation

  1. Initial program 0.4

    \[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied add-cube-cbrt0.4

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]

  4. Applied times-frac0.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1 - v \cdot v}}\]

  5. Simplified0.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}{\frac{t \cdot \pi}{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1 - v \cdot v}\]
  6. Using strategy rm

  7. Applied add-sqr-sqrt0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}{\frac{t \cdot \pi}{\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5} \cdot \sqrt{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1 - v \cdot v}\]

  8. Applied cbrt-prod0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}{\frac{t \cdot \pi}{\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1 - v \cdot v}\]

  9. Applied times-frac0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}{\color{blue}{\frac{t}{\sqrt[3]{\sqrt{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}} \cdot \frac{\pi}{\sqrt[3]{\sqrt{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1 - v \cdot v}\]

  10. Applied add-sqr-sqrt0.4

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}}}{\frac{t}{\sqrt[3]{\sqrt{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}} \cdot \frac{\pi}{\sqrt[3]{\sqrt{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1 - v \cdot v}\]

  11. Applied times-frac0.4

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}}{\frac{t}{\sqrt[3]{\sqrt{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}} \cdot \frac{\sqrt{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}}{\frac{\pi}{\sqrt[3]{\sqrt{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}}\right)} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1 - v \cdot v}\]

  12. Final simplification0.4

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{1 - v \cdot v} \cdot \left(\frac{\sqrt{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6}}}}{\frac{t}{\sqrt[3]{\sqrt{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}} \cdot \frac{\sqrt{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6}}}}{\frac{\pi}{\sqrt[3]{\sqrt{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}}\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019026 
(FPCore (v t)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)"
  (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (* (* (* PI t) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v)))))) (- 1 (* v v)))))