Average Error: 38.2 → 25.3
Time: 13.1s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0} \le 0.0:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0} \le 3.451976508230819 \cdot 10^{-82}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re \cdot -2\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0} \le 1.9271451828249098 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) < 0.0

    1. Initial program 57.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--57.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/57.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div57.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified26.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    if 0.0 < (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) < 3.451976508230819e-82

    1. Initial program 54.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt54.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Taylor expanded around -inf 30.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if 3.451976508230819e-82 < (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) < 1.9271451828249098e+77

    1. Initial program 0.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt0.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied sqrt-unprod0.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    6. Simplified0.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    if 1.9271451828249098e+77 < (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))

    1. Initial program 61.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 44.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(im - re\right)}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification25.3

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0} \le 0.0:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0} \le 3.451976508230819 \cdot 10^{-82}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re \cdot -2\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0} \le 1.9271451828249098 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019026 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))