Average Error: 0.2 → 0.0
Time: 27.8s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]
↓
\[\left((\left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot b\right)\right) \cdot 2 + \left({a}^{4} + {b}^{4}\right))_* + 4 \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right) + \left(a + 1\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  2. Taylor expanded around inf 0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({b}^{4} + \left({a}^{4} + 2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right)\right)\right)} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  3. Simplified0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{(\left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot b\right)\right) \cdot 2 + \left({b}^{4} + {a}^{4}\right))_*} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  4. Final simplification0.0

    \[\leadsto \left((\left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot b\right)\right) \cdot 2 + \left({a}^{4} + {b}^{4}\right))_* + 4 \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right) + \left(a + 1\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019022 +o rules:numerics
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (25)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1))

Details

Time bar (total: 27.2s)Debug log

sample183.0ms

Algorithm
intervals
Results
159.0ms661×body80valid

simplify131.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
131.0ms
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)

prune7.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize47.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.8b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.4b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
0.1b
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
0.1b
(* (* a a) (+ 1 a))

rewrite33.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
9×add-cube-cbrt
9×add-exp-log
9×*-un-lft-identity
9×pow1
9×add-sqr-sqrt
8×add-cbrt-cube
7×fma-def
6×add-log-exp
6×associate-*r*
6×unpow-prod-down
4×log1p-expm1-u
4×associate-*r/
4×distribute-lft-in
4×expm1-log1p-u
4×distribute-rgt-in
2×unpow2
2×flip-+
2×cbrt-unprod
2×*-commutative
2×prod-exp
2×pow-prod-down
2×associate-*l*
2×flip3-+
2×sub-neg
2×associate-+r+
1×flip--
1×pow-exp
1×flip3--
1×pow-pow
1×sum-log
1×+-commutative
1×pow-to-exp
Counts
4 → 82
Calls
4 calls:
Slowest
16.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
8.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
5.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
3.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))

series154.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
58.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
34.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
31.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
31.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)

simplify5.3s

Counts
48 → 94
Calls
48 calls:
Slowest
898.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
896.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
388.0ms
(* (* (* b b) (- 1 (* 3 a))) 4)
358.0ms
(* 4 (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))
263.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

prune1.1s

Pruning

4 alts after pruning (4 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize29.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.8b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.1b
(* (* a b) (* a b))
0.1b
(+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
0.1b
(* (* a a) (+ 1 a))

rewrite31.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
13×pow1
10×add-exp-log
10×add-cbrt-cube
7×add-cube-cbrt
7×associate-*r*
7×*-un-lft-identity
7×add-sqr-sqrt
6×add-log-exp
4×log1p-expm1-u
4×associate-*r/
4×distribute-lft-in
4×expm1-log1p-u
4×distribute-rgt-in
3×cbrt-unprod
3×*-commutative
3×prod-exp
3×pow-prod-down
3×associate-*l*
3×fma-def
2×flip-+
2×flip3-+
2×sub-neg
2×associate-+r+
1×flip--
1×fma-udef
1×pow-prod-up
1×flip3--
1×pow-plus
1×sum-log
1×associate-+l+
1×+-commutative
1×pow2
Counts
4 → 81
Calls
4 calls:
Slowest
9.0ms
(+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
8.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
7.0ms
(* (* a b) (* a b))
7.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))

series161.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
76.0ms
(+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
32.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
30.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
22.0ms
(* (* a b) (* a b))

simplify5.3s

Counts
46 → 93
Calls
46 calls:
Slowest
949.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
641.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
547.0ms
(* (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)) (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)))
325.0ms
(* 4 (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))
313.0ms
(* (* (* b b) (- 1 (* 3 a))) 4)

prune1.5s

Pruning

4 alts after pruning (3 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize22.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

9.3b
(sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))))
9.3b
(sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))))
0.8b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.2b
(fma (sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))) (sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))

rewrite12.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
9×add-sqr-sqrt
7×add-cube-cbrt
7×*-un-lft-identity
6×sqrt-prod
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
6×pow1
4×add-log-exp
4×log1p-expm1-u
4×expm1-log1p-u
3×associate-*r*
2×associate-*r/
2×pow1/2
2×distribute-lft-in
2×sub-neg
2×rem-sqrt-square
2×distribute-rgt-in
1×flip--
1×fma-udef
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×flip3--
Counts
4 → 61
Calls
4 calls:
Slowest
8.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
2.0ms
(sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))))
2.0ms
(sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))))
0.0ms
(fma (sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))) (sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))

series260.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
127.0ms
(fma (sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))) (sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
56.0ms
(sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))))
49.0ms
(sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))))
28.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

simplify3.1s

Counts
32 → 73
Calls
32 calls:
Slowest
677.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
262.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
255.0ms
(+ (* 1 1) (+ (* (* 3 a) (* 3 a)) (* 1 (* 3 a))))
218.0ms
(+ (* 4 (pow a 2)) (+ (* 4 (pow b 2)) (* 4 (pow a 3))))
202.0ms
(- (pow b 2) (* 3 (* a (pow b 2))))

prune1.3s

Pruning

4 alts after pruning (3 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize23.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

10.6b
(sqrt (sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))))
10.6b
(sqrt (sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))))
9.3b
(sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))))
9.3b
(sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))))

rewrite4.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
26×sqrt-prod
16×add-sqr-sqrt
10×add-cube-cbrt
10×*-un-lft-identity
6×rem-sqrt-square
4×add-log-exp
4×log1p-expm1-u
4×add-exp-log
4×pow1/2
4×add-cbrt-cube
4×pow1
4×expm1-log1p-u
Counts
4 → 64
Calls
4 calls:
Slowest
1.0ms
(sqrt (sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))))
1.0ms
(sqrt (sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))))
1.0ms
(sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))))
1.0ms
(sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))))

series250.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
80.0ms
(sqrt (sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))))
68.0ms
(sqrt (sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))))
58.0ms
(sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))))
44.0ms
(sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))))

simplify1.6s

Counts
36 → 76
Calls
36 calls:
Slowest
111.0ms
(sqrt (* (cbrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))) (cbrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))))))
110.0ms
(sqrt (sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))))
103.0ms
(sqrt (* (cbrt (sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))))) (cbrt (sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))))))
101.0ms
(sqrt (sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))))
98.0ms
(sqrt (sqrt (sqrt (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))))))

prune1.6s

Pruning

4 alts after pruning (2 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

regimes137.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch5.0ms

end0.0ms

sample5.0s

Algorithm
intervals
Results
4.6s20530×body80valid