Average Error: 43.4 → 0.8
Time: 42.8s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]
↓
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot (im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original43.4
Target0.3
Herbie0.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| \lt 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(\frac{1}{6} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{120} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Initial program 43.4

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

  2. Taylor expanded around 0 0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(\frac{1}{3} \cdot {im}^{3} + \left(\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + 2 \cdot im\right)\right)\right)}\]

  3. Simplified0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{(im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*}\]

  4. Final simplification0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot (im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019022 +o rules:numerics
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 1/6 im) im) im)) (* (* (* (* (* 1/120 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

Details

Time bar (total: 41.0s)Debug log

sample329.0ms

Algorithm
intervals
Results
139.0ms145×body1280valid
120.0ms111×body640valid
28.0ms59×body320valid
15.0ms124×body80valid
9.0ms34×body160valid

simplify184.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
184.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))

prune11.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 44.3b

localize37.0ms

Local error

Found 2 expressions with local error:

6.8b
(- (exp (- im)) (exp im))
0.0b
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))

rewrite36.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
27×prod-diff
26×*-un-lft-identity
26×add-sqr-sqrt
22×add-cube-cbrt
11×distribute-lft-in
11×distribute-rgt-in
5×associate-*r*
4×add-log-exp
4×add-exp-log
4×add-cbrt-cube
4×pow1
3×fma-neg
3×sub-neg
2×difference-of-squares
2×distribute-lft-out--
2×flip--
2×log1p-expm1-u
2×associate-*r/
2×flip3--
2×expm1-log1p-u
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×diff-log
Counts
2 → 71
Calls
2 calls:
Slowest
20.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))
15.0ms
(- (exp (- im)) (exp im))

series166.0ms

Counts
2 → 6
Calls
2 calls:
Slowest
118.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))
48.0ms
(- (exp (- im)) (exp im))

simplify5.6s

Counts
62 → 77
Calls
62 calls:
Slowest
344.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))
323.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma (- (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))))))
297.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma (- (exp im)) 1 (* (exp im) 1)))
272.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma (- (exp im)) 1 (* (exp im) 1)))
262.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma (- (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))))))

prune823.0ms

Pruning

3 alts after pruning (3 fresh and 0 done)

Merged error: 0.1b

localize25.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.1b
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.0b
(* (pow im 5) -1/60)
0.0b
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))
0.0b
(fma -1/3 (* im im) -2)

rewrite16.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
6×add-cube-cbrt
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
6×*-un-lft-identity
6×pow1
6×add-sqr-sqrt
4×add-log-exp
4×log1p-expm1-u
4×fma-udef
4×associate-*l*
4×expm1-log1p-u
3×associate-*r*
2×*-commutative
1×cbrt-unprod
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×distribute-lft-in
1×distribute-rgt-in
Counts
4 → 52
Calls
4 calls:
Slowest
11.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
4.0ms
(* (pow im 5) -1/60)
0.0ms
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))
0.0ms
(fma -1/3 (* im im) -2)

series229.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
133.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
34.0ms
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))
32.0ms
(* (pow im 5) -1/60)
30.0ms
(fma -1/3 (* im im) -2)

simplify2.1s

Counts
22 → 64
Calls
22 calls:
Slowest
465.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
282.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))
237.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))
224.0ms
(- (+ (* 0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im 3))) (+ (* 1.0 (* (sin re) im)) (* 0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im 5))))))
219.0ms
(- (+ (* 0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im 3))) (+ (* 1.0 (* (sin re) im)) (* 0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im 5))))))

prune852.0ms

Pruning

10 alts after pruning (9 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize22.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

14.9b
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
14.9b
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
14.9b
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
0.5b
(* (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))

rewrite41.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
9×pow1
7×pow1/3
6×add-cube-cbrt
6×add-exp-log
6×*-un-lft-identity
6×add-sqr-sqrt
5×cbrt-prod
4×add-log-exp
4×log1p-expm1-u
4×associate-*l*
4×associate-*r*
4×add-cbrt-cube
4×expm1-log1p-u
2×pow-prod-up
2×pow-prod-down
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-plus
1×pow2
Counts
4 → 59
Calls
4 calls:
Slowest
24.0ms
(* (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))
5.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
5.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
5.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

series1.4s

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
399.0ms
(* (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))
369.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
316.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
315.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

simplify8.8s

Counts
31 → 71
Calls
31 calls:
Slowest
781.0ms
(* (cbrt (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))) (cbrt (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))))
513.0ms
(* (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
486.0ms
(* (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
478.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
477.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

prune1.0s

Pruning

10 alts after pruning (8 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

localize22.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.7b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.7b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.7b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.5b
(* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

rewrite9.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
15×cbrt-prod
11×add-cube-cbrt
11×*-un-lft-identity
11×add-sqr-sqrt
9×pow1
7×pow1/3
6×add-exp-log
6×associate-*l*
6×associate-*r*
4×add-log-exp
4×log1p-expm1-u
4×add-cbrt-cube
4×expm1-log1p-u
2×pow-prod-up
2×pow-prod-down
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-plus
1×pow2
Counts
4 → 69
Calls
4 calls:
Slowest
5.0ms
(* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
1.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
1.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
1.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))

series518.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
144.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
137.0ms
(* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
126.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
111.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))

simplify5.1s

Counts
41 → 81
Calls
41 calls:
Slowest
456.0ms
(+ (* 40/3 (/ (exp (* 1/3 (- (log 1/3600) (* 10 (log (/ 1 im)))))) (pow im 2))) (+ (* 320/9 (/ (exp (* 1/3 (- (log 1/3600) (* 10 (log (/ 1 im)))))) (pow im 4))) (exp (* 1/3 (- (log 1/3600) (* 10 (log (/ 1 im))))))))
454.0ms
(* (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
391.0ms
(- (+ (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (* 1/18 (* (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (pow im 2)))) (* 1/3240 (* (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (pow im 4))))
382.0ms
(* (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
373.0ms
(- (+ (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (* 1/18 (* (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (pow im 2)))) (* 1/3240 (* (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (pow im 4))))

prune1.1s

Pruning

11 alts after pruning (8 fresh and 3 done)

Merged error: 0.0b

regimes591.0ms

Accuracy

0% (0.7b remaining)

Error of 0.8b against oracle of 0.1b and baseline of 0.8b

bsearch3.0ms

end0.0ms

sample12.1s

Algorithm
intervals
Results
5.8s4806×body1280valid
3.3s3665×body640valid
1.2s4433×body80valid
1.1s1885×body320valid
349.0ms991×body160valid