Average Error: 58.0 → 0.8
Time: 43.1s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\]
↓
\[\left(-\cos re\right) \cdot (0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5}\right) + \left((\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot 0.16666666666666666\right) + \left(im \cdot 1.0\right))_*\right))_*\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original58.0
Target0.2
Herbie0.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| \lt 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(\frac{1}{6} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{120} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Initial program 58.0

    \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\]

  2. Taylor expanded around 0 0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(\frac{1}{3} \cdot {im}^{3} + \left(\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + 2 \cdot im\right)\right)\right)}\]

  3. Simplified0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{(im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*}\]

  4. Taylor expanded around -inf 0.8

    \[\leadsto \color{blue}{-\left(1.0 \cdot \left(im \cdot \cos re\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \cos re\right) + 0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\]

  5. Simplified0.8

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-\cos re\right) \cdot (0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5}\right) + \left((\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot im\right) + \left(1.0 \cdot im\right))_*\right))_*}\]

  6. Final simplification0.8

    \[\leadsto \left(-\cos re\right) \cdot (0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5}\right) + \left((\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot 0.16666666666666666\right) + \left(im \cdot 1.0\right))_*\right))_*\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019022 +o rules:numerics
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 1/6 im) im) im)) (* (* (* (* (* 1/120 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im))))

Details

Time bar (total: 40.4s)Debug log

sample327.0ms

Algorithm
intervals
Results
197.0ms175×body1280valid
67.0ms107×body640valid
22.0ms46×body320valid
14.0ms118×body80valid
8.0ms27×body160valid

simplify180.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
180.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))

prune13.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 58.9b

localize38.0ms

Local error

Found 2 expressions with local error:

6.8b
(- (exp (- 0 im)) (exp im))
0.0b
(* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))

rewrite56.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
45×prod-diff
32×*-un-lft-identity
32×add-sqr-sqrt
28×add-cube-cbrt
20×exp-sum
17×distribute-lft-in
17×distribute-rgt-in
13×sub-neg
5×associate-*r*
5×fma-neg
4×add-log-exp
4×add-exp-log
4×add-cbrt-cube
4×pow1
2×difference-of-squares
2×distribute-lft-out--
2×flip--
2×log1p-expm1-u
2×associate-*r/
2×flip3--
2×expm1-log1p-u
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×diff-log
Counts
2 → 91
Calls
2 calls:
Slowest
31.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))
16.0ms
(- (exp (- 0 im)) (exp im))

series166.0ms

Counts
2 → 6
Calls
2 calls:
Slowest
115.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))
51.0ms
(- (exp (- 0 im)) (exp im))

simplify9.7s

Counts
88 → 97
Calls
88 calls:
Slowest
523.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma (- (sqrt (exp im))) (sqrt (exp im)) (* (sqrt (exp im)) (sqrt (exp im)))))
338.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma (- (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))))))
305.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma (- (exp im)) 1 (* (exp im) 1)))
294.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))
289.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma (- (exp im)) 1 (* (exp im) 1)))

prune1.1s

Pruning

4 alts after pruning (4 fresh and 0 done)

Merged error: 0.1b

localize38.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.1b
(* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.0b
(* (pow im 5) -1/60)
0.0b
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))
0.0b
(fma -1/3 (* im im) -2)

rewrite17.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
6×add-cube-cbrt
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
6×*-un-lft-identity
6×pow1
6×add-sqr-sqrt
4×add-log-exp
4×log1p-expm1-u
4×fma-udef
4×associate-*l*
4×expm1-log1p-u
3×associate-*r*
2×*-commutative
1×cbrt-unprod
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×distribute-lft-in
1×distribute-rgt-in
Counts
4 → 52
Calls
4 calls:
Slowest
11.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
4.0ms
(* (pow im 5) -1/60)
0.0ms
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))
0.0ms
(fma -1/3 (* im im) -2)

series213.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
123.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
35.0ms
(* (pow im 5) -1/60)
28.0ms
(fma -1/3 (* im im) -2)
27.0ms
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))

simplify2.6s

Counts
22 → 64
Calls
22 calls:
Slowest
454.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
297.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))
292.0ms
(- (+ (* 1.0 (* im (cos re))) (+ (* 0.16666666666666666 (* (pow im 3) (cos re))) (* 0.008333333333333333 (* (pow im 5) (cos re))))))
284.0ms
(- (+ (* 1.0 (* im (cos re))) (+ (* 0.16666666666666666 (* (pow im 3) (cos re))) (* 0.008333333333333333 (* (pow im 5) (cos re))))))
265.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))

prune905.0ms

Pruning

11 alts after pruning (11 fresh and 0 done)

Merged error: 0.1b

localize25.0ms

Local error

Found 3 expressions with local error:

0.1b
(* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im))))
0.0b
(fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)))
0.0b
(fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im))

rewrite11.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
10×associate-*l*
7×add-cube-cbrt
7×*-un-lft-identity
7×add-sqr-sqrt
5×add-exp-log
5×add-cbrt-cube
5×pow1
4×fma-udef
3×add-log-exp
3×log1p-expm1-u
3×associate-*r*
3×distribute-rgt-neg-in
3×expm1-log1p-u
3×distribute-lft-neg-in
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×distribute-lft-in
1×neg-mul-1
1×distribute-rgt-in
1×distribute-lft-neg-out
Counts
3 → 49
Calls
3 calls:
Slowest
9.0ms
(* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im))))
0.0ms
(fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)))
0.0ms
(fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im))

series202.0ms

Counts
3 → 9
Calls
3 calls:
Slowest
120.0ms
(* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im))))
45.0ms
(fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im))
37.0ms
(fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)))

simplify2.2s

Counts
25 → 58
Calls
25 calls:
Slowest
323.0ms
(* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im))))
266.0ms
(* (- (cos re)) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)))
234.0ms
(- (+ (* 1.0 (* im (cos re))) (+ (* 0.16666666666666666 (* (pow im 3) (cos re))) (* 0.008333333333333333 (* (pow im 5) (cos re))))))
229.0ms
(- (* 0.5 (* (pow re 2) im)) (+ (* 0.16666666666666666 (pow im 3)) (* 1.0 im)))
208.0ms
(* (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)) (- (cos re)))

prune730.0ms

Pruning

14 alts after pruning (13 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize19.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.6b
(cbrt (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)))))
0.6b
(cbrt (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)))))
0.6b
(cbrt (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)))))
0.5b
(* (cbrt (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im))))) (cbrt (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im))))))

rewrite38.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
9×pow1
7×pow1/3
6×add-cube-cbrt
6×add-exp-log
6×*-un-lft-identity
6×add-sqr-sqrt
5×cbrt-prod
4×add-log-exp
4×log1p-expm1-u
4×associate-*l*
4×associate-*r*
4×add-cbrt-cube
4×expm1-log1p-u
2×pow-prod-up
2×pow-prod-down
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-plus
1×pow2
Counts
4 → 59
Calls
4 calls:
Slowest
21.0ms
(* (cbrt (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im))))) (cbrt (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im))))))
6.0ms
(cbrt (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)))))
5.0ms
(cbrt (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)))))
5.0ms
(cbrt (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)))))

series1.6s

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
643.0ms
(* (cbrt (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im))))) (cbrt (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im))))))
344.0ms
(cbrt (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)))))
322.0ms
(cbrt (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)))))
321.0ms
(cbrt (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)))))

simplify6.4s

Counts
31 → 71
Calls
31 calls:
Slowest
444.0ms
(* (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)))) (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)))))
414.0ms
(* (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)))) (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im)))))
393.0ms
(* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im))))
391.0ms
(sqrt (cbrt (* (- (cos re)) (fma 0.008333333333333333 (pow im 5) (fma (* im im) (* 0.16666666666666666 im) (* 1.0 im))))))
372.0ms
(+ (* (cbrt -1) (exp (* 1/3 (- (log (* 0.008333333333333333 (cos re))) (* 5 (log (/ 1 im))))))) (* 6.666666666666666 (/ (* (cbrt -1) (exp (* 1/3 (- (log (* 0.008333333333333333 (cos re))) (* 5 (log (/ 1 im))))))) (pow im 2))))

prune1.1s

Pruning

15 alts after pruning (13 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

regimes504.0ms

Accuracy

0% (0.7b remaining)

Error of 0.8b against oracle of 0.0b and baseline of 0.8b

bsearch5.0ms

end0.0ms

sample12.1s

Algorithm
intervals
Results
7.4s5772×body1280valid
2.5s3500×body640valid
1.1s1488×body320valid
613.0ms4318×body80valid
195.0ms705×body160valid