Average Error: 0.2 → 0.0
Time: 31.3s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]
↓
\[\left(\left(\left({a}^{4} + \left({b}^{2} \cdot {a}^{2}\right) \cdot 2\right) + {b}^{4}\right) + \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a + 1\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - a \cdot 3\right)\right) \cdot 4\right) - 1\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  2. Taylor expanded around -inf 0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({b}^{4} + \left({a}^{4} + 2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right)\right)\right)} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  3. Final simplification0.0

    \[\leadsto \left(\left(\left({a}^{4} + \left({b}^{2} \cdot {a}^{2}\right) \cdot 2\right) + {b}^{4}\right) + \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a + 1\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - a \cdot 3\right)\right) \cdot 4\right) - 1\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019022 
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (25)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1))

Details

Time bar (total: 30.5s)Debug log

sample132.0ms

Algorithm
intervals
Results
109.0ms661×body80valid

simplify112.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
112.0ms
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)

prune8.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize61.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.8b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.4b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
0.1b
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
0.1b
(* (* a a) (+ 1 a))

rewrite28.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
9×add-exp-log
9×pow1
8×add-cbrt-cube
7×add-cube-cbrt
7×*-un-lft-identity
7×add-sqr-sqrt
6×add-log-exp
6×associate-*r*
4×associate-*r/
4×distribute-lft-in
4×distribute-rgt-in
3×unpow-prod-down
2×flip-+
2×cbrt-unprod
2×*-commutative
2×prod-exp
2×pow-prod-down
2×associate-*l*
2×flip3-+
2×sub-neg
2×associate-+r+
1×unpow2
1×flip--
1×pow-exp
1×flip3--
1×pow-pow
1×sum-log
1×+-commutative
1×pow-to-exp
Counts
4 → 67
Calls
4 calls:
Slowest
18.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
4.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
3.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
2.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)

series179.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
94.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
34.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
27.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
24.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

simplify3.9s

Counts
42 → 79
Calls
42 calls:
Slowest
755.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
547.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
368.0ms
(* 4 (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))
274.0ms
(* (* (* b b) (- 1 (* 3 a))) 4)
229.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

prune1.1s

Pruning

5 alts after pruning (4 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize46.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

2.8b
(* (pow a 2) (pow b 2))
0.8b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.1b
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
0.1b
(* (* a a) (+ 1 a))

rewrite73.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
32×associate-*r/
20×frac-add
14×flip-+
14×flip3-+
13×add-log-exp
12×add-exp-log
10×associate-*r*
10×add-cbrt-cube
8×add-cube-cbrt
8×*-un-lft-identity
8×pow1
8×add-sqr-sqrt
6×prod-exp
6×associate-*l*
6×sum-log
5×flip--
5×flip3--
4×distribute-lft-in
4×pow-to-exp
4×distribute-rgt-in
3×cbrt-unprod
3×*-commutative
3×pow-prod-down
2×unpow2
2×sub-neg
2×associate-+r+
1×associate-+l+
1×+-commutative
Counts
4 → 90
Calls
4 calls:
Slowest
55.0ms
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
7.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
7.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))
3.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))

series179.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
94.0ms
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
39.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
24.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
22.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

simplify9.4s

Counts
75 → 102
Calls
75 calls:
Slowest
807.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
795.0ms
(* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))))) (+ (* (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* a a) (+ 1 a))) (- (* (* (* b b) (- 1 (* 3 a))) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))) (* (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
507.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
419.0ms
(+ (* (- (* (pow b 4) (pow b 4)) (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))))) (* (- 1 a) (+ 1 (* 3 a)))) (* (- (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (* 1 1) (* a a))) (+ 1 (* 3 a))) (* (- 1 a) (* (* b b) (- (* 1 1) (* (* 3 a) (* 3 a)))))))))
397.0ms
(+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) 3)) (* (- 1 a) (+ 1 (* 3 a)))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (* 1 1) (* a a))) (+ 1 (* 3 a))) (* (- 1 a) (* (* b b) (- (* 1 1) (* (* 3 a) (* 3 a)))))))))

prune2.0s

Pruning

7 alts after pruning (5 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

localize22.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

17.8b
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
17.8b
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
17.8b
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
0.8b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

rewrite20.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
21×cbrt-prod
11×add-cube-cbrt
11×*-un-lft-identity
11×add-sqr-sqrt
9×unpow-prod-down
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
6×pow1
4×add-log-exp
3×unpow2
3×associate-*r*
3×pow1/3
2×associate-*r/
2×distribute-lft-in
2×sub-neg
2×distribute-rgt-in
1×flip--
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×flip3--
Counts
4 → 66
Calls
4 calls:
Slowest
7.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
5.0ms
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
4.0ms
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
4.0ms
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))

series375.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
128.0ms
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
124.0ms
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
95.0ms
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
27.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

simplify2.3s

Counts
45 → 78
Calls
45 calls:
Slowest
492.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
204.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
131.0ms
(- (pow b 2) (* 3 (* a (pow b 2))))
126.0ms
(+ (* 1 1) (+ (* (* 3 a) (* 3 a)) (* 1 (* 3 a))))
110.0ms
(- (pow b 2) (* 3 (* a (pow b 2))))

prune1.2s

Pruning

5 alts after pruning (4 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize39.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

17.8b
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
17.8b
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
14.9b
(cbrt (* (+ (* a a) (* b b)) (cbrt (+ (* a a) (* b b)))))
11.2b
(cbrt (+ (* a a) (* b b)))

rewrite22.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
18×cbrt-prod
16×cbrt-div
9×add-cube-cbrt
9×*-un-lft-identity
9×add-sqr-sqrt
7×flip-+
7×flip3-+
6×unpow-prod-down
4×add-log-exp
4×add-exp-log
4×pow1/3
4×add-cbrt-cube
4×pow1
4×frac-times
2×unpow2
2×associate-*r/
2×associate-*l/
Counts
4 → 60
Calls
4 calls:
Slowest
7.0ms
(cbrt (* (+ (* a a) (* b b)) (cbrt (+ (* a a) (* b b)))))
6.0ms
(cbrt (+ (* a a) (* b b)))
4.0ms
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
4.0ms
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))

series417.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
117.0ms
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
110.0ms
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
104.0ms
(cbrt (* (+ (* a a) (* b b)) (cbrt (+ (* a a) (* b b)))))
87.0ms
(cbrt (+ (* a a) (* b b)))

simplify2.5s

Counts
40 → 72
Calls
40 calls:
Slowest
398.0ms
(cbrt (* (- (* (* a a) (* a a)) (* (* b b) (* b b))) (cbrt (+ (pow (* a a) 3) (pow (* b b) 3)))))
369.0ms
(cbrt (* (- (* (* a a) (* a a)) (* (* b b) (* b b))) (cbrt (- (* (* a a) (* a a)) (* (* b b) (* b b))))))
330.0ms
(cbrt (* (- (* (* a a) (* a a)) (* (* b b) (* b b))) (cbrt (+ (* a a) (* b b)))))
193.0ms
(cbrt (* (+ (pow (* a a) 3) (pow (* b b) 3)) (cbrt (- (* (* a a) (* a a)) (* (* b b) (* b b))))))
157.0ms
(cbrt (* (+ (* a a) (* b b)) (cbrt (- (* (* a a) (* a a)) (* (* b b) (* b b))))))

prune1.4s

Pruning

5 alts after pruning (3 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

regimes226.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch3.0ms

end0.0ms

sample5.0s

Algorithm
intervals
Results
4.6s20530×body80valid