Average Error: 0.2 → 0.0
Time: 34.8s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]
↓
\[\left(4 \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right) + \left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right)\right) + \left(\left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right) + {a}^{4}\right) + {b}^{4}\right)\right) - 1\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]

  2. Taylor expanded around 0 0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({b}^{4} + \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right) + {a}^{4}\right)\right)} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]

  3. Final simplification0.0

    \[\leadsto \left(4 \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right) + \left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right)\right) + \left(\left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right) + {a}^{4}\right) + {b}^{4}\right)\right) - 1\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019022 
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (24)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))) 1))

Details

Time bar (total: 34.3s)Debug log

sample153.0ms

Algorithm
intervals
Results
128.0ms661×body80valid

simplify138.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
138.0ms
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))) 1)

prune13.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize70.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.8b
(* (* b b) (+ 3 a))
0.4b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
0.1b
(* (* a a) (- 1 a))
0.0b
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))

rewrite26.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
9×add-exp-log
9×pow1
8×add-cbrt-cube
7×add-cube-cbrt
7×*-un-lft-identity
7×add-sqr-sqrt
6×add-log-exp
6×associate-*r*
4×associate-*r/
4×distribute-lft-in
4×distribute-rgt-in
3×unpow-prod-down
2×flip-+
2×cbrt-unprod
2×*-commutative
2×prod-exp
2×pow-prod-down
2×associate-*l*
2×flip3-+
2×sub-neg
2×associate-+r+
1×unpow2
1×flip--
1×pow-exp
1×flip3--
1×pow-pow
1×sum-log
1×+-commutative
1×pow-to-exp
Counts
4 → 67
Calls
4 calls:
Slowest
14.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
6.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))
3.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
2.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)

series177.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
79.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
38.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
38.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
22.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))

simplify2.2s

Counts
42 → 79
Calls
42 calls:
Slowest
430.0ms
(* (exp (pow (+ (* a a) (* b b)) 2)) (exp (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
334.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (- 1 a) (- 1 a)) (- 1 a)))
228.0ms
(* (* (* b b) (+ 3 a)) 4)
164.0ms
(* 4 (* (* b b) (+ 3 a)))
148.0ms
(- (+ (* 4 (pow a 2)) (* 12 (pow b 2))) (* 4 (pow a 3)))

prune1.0s

Pruning

4 alts after pruning (4 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize26.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

2.8b
(* (pow a 2) (pow b 2))
0.8b
(* (* b b) (+ 3 a))
0.1b
(* (* a a) (- 1 a))
0.0b
(+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))

rewrite78.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
32×associate-*r/
20×frac-add
14×flip-+
14×flip3-+
13×add-log-exp
12×add-exp-log
10×associate-*r*
10×add-cbrt-cube
8×add-cube-cbrt
8×*-un-lft-identity
8×pow1
8×add-sqr-sqrt
6×prod-exp
6×associate-*l*
6×sum-log
5×flip--
5×flip3--
4×distribute-lft-in
4×pow-to-exp
4×distribute-rgt-in
3×cbrt-unprod
3×*-commutative
3×pow-prod-down
2×unpow2
2×sub-neg
2×associate-+r+
1×associate-+l+
1×+-commutative
Counts
4 → 90
Calls
4 calls:
Slowest
66.0ms
(+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
3.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
3.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))
3.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

series127.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
62.0ms
(+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
24.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
22.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))
18.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

simplify8.1s

Counts
75 → 102
Calls
75 calls:
Slowest
596.0ms
(+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)) 3)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (- 3 a))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (pow 1 3) (pow a 3))) (- 3 a)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a))))))))
568.0ms
(+ (* (- (* (pow b 4) (pow b 4)) (* (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)))) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (- 3 a))) (* (- (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (pow 1 3) (pow a 3))) (- 3 a)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a))))))))
454.0ms
(+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)) 3)) (* (+ 1 a) (- 3 a))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (* 1 1) (* a a))) (- 3 a)) (* (+ 1 a) (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a))))))))
440.0ms
(+ (* (- (* (pow b 4) (pow b 4)) (* (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)))) (* (+ 1 a) (- 3 a))) (* (- (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (* 1 1) (* a a))) (- 3 a)) (* (+ 1 a) (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a))))))))
431.0ms
(* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))))) (+ (* (* (* a a) (- 1 a)) (* (* a a) (- 1 a))) (- (* (* (* b b) (+ 3 a)) (* (* b b) (+ 3 a))) (* (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))

prune1.9s

Pruning

4 alts after pruning (3 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

localize14.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

10.6b
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
10.6b
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
2.8b
(* (pow a 2) (pow b 2))
2.8b
(* (pow a 2) (pow b 2))

rewrite93.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
56×associate-*r/
40×frac-add
28×sqrt-div
26×flip-+
26×flip3-+
12×add-exp-log
12×add-sqr-sqrt
10×add-cube-cbrt
10×*-un-lft-identity
8×flip--
8×prod-exp
8×associate-*l*
8×associate-*r*
8×add-cbrt-cube
8×flip3--
8×pow-to-exp
6×sqrt-prod
4×add-log-exp
4×unpow2
4×pow1
2×cbrt-unprod
2×*-commutative
2×pow-prod-down
2×pow1/2
2×rem-sqrt-square
Counts
4 → 96
Calls
4 calls:
Slowest
44.0ms
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
42.0ms
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
3.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))
3.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

series178.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
75.0ms
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
70.0ms
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
17.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))
16.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

simplify9.3s

Counts
70 → 108
Calls
70 calls:
Slowest
692.0ms
(sqrt (+ (* (- (* (pow b 4) (pow b 4)) (* (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)))) (* (+ 1 a) (- 3 a))) (* (- (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (* 1 1) (* a a))) (- 3 a)) (* (+ 1 a) (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a)))))))))
557.0ms
(sqrt (+ (* (- (* (pow b 4) (pow b 4)) (* (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)))) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (- 3 a))) (* (- (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (pow 1 3) (pow a 3))) (- 3 a)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a)))))))))
551.0ms
(sqrt (+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)) 3)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (- 3 a))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (pow 1 3) (pow a 3))) (- 3 a)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a)))))))))
527.0ms
(sqrt (+ (* (- (* (pow b 4) (pow b 4)) (* (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)))) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (- 3 a))) (* (- (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (pow 1 3) (pow a 3))) (- 3 a)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a)))))))))
507.0ms
(sqrt (+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)) 3)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (- 3 a))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4)) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (pow 1 3) (pow a 3))) (- 3 a)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a)))))))))

prune2.5s

Pruning

4 alts after pruning (2 fresh and 2 done)

Merged error: 0b

localize15.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

11.1b
(cbrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
11.1b
(cbrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
11.1b
(cbrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
0.8b
(* (* b b) (+ 3 a))

rewrite40.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
9×cbrt-prod
8×add-cube-cbrt
8×*-un-lft-identity
8×add-sqr-sqrt
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
6×cbrt-div
6×pow1
4×add-log-exp
4×flip-+
4×flip3-+
3×associate-*r*
3×pow1/3
2×associate-*r/
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×distribute-lft-in
1×distribute-rgt-in
Counts
4 → 58
Calls
4 calls:
Slowest
19.0ms
(cbrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
10.0ms
(cbrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
7.0ms
(cbrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
3.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))

series389.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
131.0ms
(cbrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
120.0ms
(cbrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
120.0ms
(cbrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
17.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))

simplify3.4s

Counts
37 → 70
Calls
37 calls:
Slowest
295.0ms
(cbrt (* (cbrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))) (cbrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))))
251.0ms
(cbrt (sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))))
231.0ms
(cbrt (sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))))
228.0ms
(cbrt (sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))))
226.0ms
(cbrt (* (cbrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))) (cbrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))))

prune775.0ms

Pruning

4 alts after pruning (1 fresh and 3 done)

Merged error: 0b

regimes177.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch3.0ms

end0.0ms

sample3.5s

Algorithm
intervals
Results
3.2s20530×body80valid