Average Error: 43.8 → 0.3
Time: 31.2s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]
↓
\[\frac{c}{\frac{-1}{2}} \cdot \frac{1}{b + \sqrt{b \cdot b + \left(-4 \cdot c\right) \cdot a}}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 43.8

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]

  2. Simplified43.8

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b}{2 \cdot a}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied flip--43.8

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b}}}{2 \cdot a}\]

  5. Applied associate-/l/43.8

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b \cdot b}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}}\]

  6. Simplified0.4

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied associate-/r*0.2

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{2 \cdot a}}{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b}}\]
  9. Using strategy rm

  10. Applied *-un-lft-identity0.2

    \[\leadsto \frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{2 \cdot a}}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}}\]

  11. Applied times-frac0.2

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{c \cdot -4}{2} \cdot \frac{a}{a}}}{1 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}\]

  12. Applied times-frac0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{c \cdot -4}{2}}{1} \cdot \frac{\frac{a}{a}}{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b}}\]

  13. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{c}{\frac{-1}{2}}} \cdot \frac{\frac{a}{a}}{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b}\]

  14. Simplified0.3

    \[\leadsto \frac{c}{\frac{-1}{2}} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -4\right) + b \cdot b} + b}}\]

  15. Final simplification0.3

    \[\leadsto \frac{c}{\frac{-1}{2}} \cdot \frac{1}{b + \sqrt{b \cdot b + \left(-4 \cdot c\right) \cdot a}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019022 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, medium range"
  :pre (and (< 1.1102230246251565e-16 a 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 b 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 c 9007199254740992.0))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c)))) (* 2 a)))

Details

Time bar (total: 30.3s)Debug log

sample120.0ms

Algorithm
intervals
Results
32.0ms150×body160valid
26.0ms260×body80nan
21.0ms516×pre80true
13.0ms42×body320valid
7.0ms64×body80valid

simplify87.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
87.0ms
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c)))) (* 2 a))

prune12.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 42.8b

localize45.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

38.6b
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
0.2b
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
0.2b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.1b
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))

rewrite35.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
8×add-sqr-sqrt
7×add-cube-cbrt
7×*-un-lft-identity
6×add-log-exp
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
4×flip--
4×flip3--
4×pow1
3×associate-/l*
3×sqrt-prod
3×times-frac
2×associate-/l/
2×sqrt-div
2×sub-neg
1×div-inv
1×div-exp
1×div-sub
1×diff-log
1×pow1/2
1×frac-2neg
1×associate-/r*
1×clear-num
1×rem-sqrt-square
1×cbrt-undiv
Counts
4 → 59
Calls
4 calls:
Slowest
19.0ms
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
10.0ms
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
2.0ms
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))
2.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

series182.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
56.0ms
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
53.0ms
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
42.0ms
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))
31.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify2.1s

Counts
32 → 71
Calls
32 calls:
Slowest
384.0ms
(sqrt (- (pow (* b b) 3) (pow (* (* c a) 4) 3)))
312.0ms
(- (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* b b))
196.0ms
(- (pow (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) 3) (pow b 3))
142.0ms
(sqrt (- (* (* b b) (* b b)) (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4))))
129.0ms
(- b (* 2 (/ (* a c) b)))

prune648.0ms

Pruning

6 alts after pruning (6 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize18.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.4b
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
0.2b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.1b
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
0.1b
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))

rewrite38.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
6×add-log-exp
6×pow1
5×add-cube-cbrt
5×*-un-lft-identity
5×add-sqr-sqrt
4×associate-*r/
3×flip-+
3×associate-*r*
3×flip3-+
2×cbrt-unprod
2×associate-/r/
2×prod-exp
2×div-exp
2×cbrt-undiv
1×associate-/l*
1×flip--
1×div-inv
1×*-commutative
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×diff-log
1×flip3--
1×times-frac
1×distribute-lft-in
1×frac-2neg
1×sub-neg
1×associate-/r*
1×clear-num
1×+-commutative
1×distribute-rgt-in
Counts
4 → 60
Calls
4 calls:
Slowest
16.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
11.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
8.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
2.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

series297.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
134.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
81.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
56.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
26.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify3.3s

Counts
33 → 72
Calls
33 calls:
Slowest
830.0ms
(/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a)) (* (* (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))
692.0ms
(/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))
281.0ms
(+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (- (* b b) (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
272.0ms
(+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (- (* b b) (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
146.0ms
(* (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a)) (* (* (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))

prune806.0ms

Pruning

9 alts after pruning (9 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize6.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.2b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.1b
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
0.1b
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
0.1b
(/ (* (* c -4) a) (* 2 a))

rewrite30.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
20×times-frac
14×add-cube-cbrt
14×*-un-lft-identity
14×add-sqr-sqrt
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
6×add-log-exp
6×associate-/l*
6×div-inv
4×div-exp
4×associate-/r*
4×cbrt-undiv
4×pow1
2×flip-+
2×associate-/r/
2×flip3-+
2×frac-2neg
2×clear-num
1×associate-/l/
1×flip--
1×diff-log
1×flip3--
1×sub-neg
1×+-commutative
Counts
4 → 77
Calls
4 calls:
Slowest
14.0ms
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
7.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
4.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* 2 a))
4.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

series245.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
141.0ms
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
63.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
32.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))
9.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* 2 a))

simplify13.5s

Counts
62 → 89
Calls
62 calls:
Slowest
1.4s
(/ (sqrt (/ (* (* c -4) a) (* 2 a))) 1)
1.1s
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (sqrt (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
1.0s
(/ (/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a))) (* (* (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
925.0ms
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (cbrt (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
850.0ms
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))

prune988.0ms

Pruning

7 alts after pruning (7 fresh and 0 done)

Merged error: 0b

localize23.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.2b
(* (/ c -1/2) (/ 1 (+ (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) b)))
0.2b
(/ 1 (+ (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) b))
0.2b
(+ (* a (* c -4)) (* b b))
0.1b
(+ (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) b)

rewrite42.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
9×add-exp-log
7×add-cube-cbrt
7×*-un-lft-identity
7×pow1
7×add-sqr-sqrt
6×add-log-exp
6×associate-*r*
6×add-cbrt-cube
4×flip-+
4×associate-/r/
4×associate-*l*
4×flip3-+
3×div-inv
3×associate-/r*
2×prod-exp
2×rec-exp
2×+-commutative
1×inv-pow
1×pow-flip
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×un-div-inv
1×associate-*r/
1×associate-*l/
1×pow-prod-down
1×frac-2neg
1×sum-log
1×clear-num
1×frac-times
Counts
4 → 65
Calls
4 calls:
Slowest
14.0ms
(+ (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) b)
11.0ms
(/ 1 (+ (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) b))
10.0ms
(* (/ c -1/2) (/ 1 (+ (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) b)))
5.0ms
(+ (* a (* c -4)) (* b b))

series382.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
155.0ms
(* (/ c -1/2) (/ 1 (+ (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) b)))
112.0ms
(/ 1 (+ (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) b))
65.0ms
(+ (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) b)
49.0ms
(+ (* a (* c -4)) (* b b))

simplify1.2s

Counts
36 → 77
Calls
36 calls:
Slowest
322.0ms
(* (* (* (/ c -1/2) (/ c -1/2)) (/ c -1/2)) (* (* (/ 1 (+ (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) b)) (/ 1 (+ (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) b))) (/ 1 (+ (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) b))))
176.0ms
(+ (* (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b)))) (- (* b b) (* (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) b)))
128.0ms
(+ (log (/ c -1/2)) (log (/ 1 (+ (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) b))))
113.0ms
(+ (* (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b)))) (- (* b b) (* (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) b)))
93.0ms
(* (/ c -1/2) (/ 1 (+ (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) b)))

prune821.0ms

Pruning

7 alts after pruning (6 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

regimes232.0ms

Accuracy

0% (0.3b remaining)

Error of 0.3b against oracle of 0.0b and baseline of 0.3b

bsearch4.0ms

end0.0ms

sample5.1s

Algorithm
intervals
Results
1.5s4851×body160valid
1.2s8020×body80nan
786.0ms16020×pre80true
712.0ms1350×body320valid
668.0ms1799×body80valid