Average Error: 28.3 → 0.3
Time: 31.5s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]
↓
\[\frac{\frac{c}{\frac{-1}{2}}}{b + \sqrt{\left(-4 \cdot c\right) \cdot a + b \cdot b}}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 28.3

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]

  2. Simplified28.3

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b}{2 \cdot a}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied flip--28.3

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b}}}{2 \cdot a}\]

  5. Applied associate-/l/28.3

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b \cdot b}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}}\]

  6. Simplified0.4

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied associate-/r*0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{2 \cdot a}}{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b}}\]
  9. Using strategy rm

  10. Applied *-un-lft-identity0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{2 \cdot a}}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}}\]

  11. Applied *-un-lft-identity0.3

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{2 \cdot a}}}{1 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}\]

  12. Applied times-frac0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1} \cdot \frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{2 \cdot a}}{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b}}\]

  13. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot \frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{2 \cdot a}}{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b}\]

  14. Simplified0.3

    \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{c}{\frac{-1}{2}}}{b + \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -4\right) + b \cdot b}}}\]

  15. Final simplification0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{c}{\frac{-1}{2}}}{b + \sqrt{\left(-4 \cdot c\right) \cdot a + b \cdot b}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019022 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, narrow range"
  :pre (and (< 1.0536712127723509e-08 a 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 b 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 c 94906265.62425156))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c)))) (* 2 a)))

Details

Time bar (total: 30.6s)Debug log

sample132.0ms

Algorithm
intervals
Results
37.0ms142×body160valid
34.0ms245×body80nan
25.0ms501×pre80true
15.0ms114×body80valid

simplify71.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
70.0ms
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c)))) (* 2 a))

prune11.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 28.7b

localize31.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

28.5b
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
0.3b
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
0.3b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.1b
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))

rewrite40.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
8×add-sqr-sqrt
7×add-cube-cbrt
7×*-un-lft-identity
6×add-log-exp
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
4×flip--
4×flip3--
4×pow1
3×associate-/l*
3×sqrt-prod
3×times-frac
2×associate-/l/
2×sqrt-div
2×sub-neg
1×div-inv
1×div-exp
1×div-sub
1×diff-log
1×pow1/2
1×frac-2neg
1×associate-/r*
1×clear-num
1×rem-sqrt-square
1×cbrt-undiv
Counts
4 → 59
Calls
4 calls:
Slowest
18.0ms
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
16.0ms
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
3.0ms
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))
2.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

series248.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
78.0ms
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
69.0ms
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
61.0ms
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))
39.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify2.0s

Counts
32 → 71
Calls
32 calls:
Slowest
359.0ms
(sqrt (- (pow (* b b) 3) (pow (* (* c a) 4) 3)))
299.0ms
(- (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* b b))
162.0ms
(- (pow (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) 3) (pow b 3))
133.0ms
(sqrt (- (* (* b b) (* b b)) (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4))))
124.0ms
(- b (* 2 (/ (* a c) b)))

prune658.0ms

Pruning

5 alts after pruning (5 fresh and 0 done)

Merged error: 0.3b

localize14.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
0.3b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.2b
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
0.2b
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))

rewrite57.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
6×add-log-exp
6×pow1
5×add-cube-cbrt
5×*-un-lft-identity
5×add-sqr-sqrt
4×associate-*r/
3×flip-+
3×associate-*r*
3×flip3-+
2×cbrt-unprod
2×associate-/r/
2×prod-exp
2×div-exp
2×cbrt-undiv
1×associate-/l*
1×flip--
1×div-inv
1×*-commutative
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×diff-log
1×flip3--
1×times-frac
1×distribute-lft-in
1×frac-2neg
1×sub-neg
1×associate-/r*
1×clear-num
1×+-commutative
1×distribute-rgt-in
Counts
4 → 60
Calls
4 calls:
Slowest
20.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
18.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
15.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
4.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

series291.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
121.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
66.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
65.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
39.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify3.5s

Counts
33 → 72
Calls
33 calls:
Slowest
834.0ms
(/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a)) (* (* (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))
787.0ms
(/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))
293.0ms
(+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (- (* b b) (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
277.0ms
(+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (- (* b b) (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
182.0ms
(* (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a)) (* (* (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))

prune817.0ms

Pruning

8 alts after pruning (8 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize6.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.2b
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
0.2b
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
0.1b
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))

rewrite30.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
19×times-frac
16×add-sqr-sqrt
15×add-cube-cbrt
15×*-un-lft-identity
9×add-exp-log
9×add-cbrt-cube
6×add-log-exp
5×associate-/l*
5×div-inv
4×pow1
3×sqrt-prod
3×div-exp
3×associate-/r*
3×cbrt-undiv
2×flip--
2×flip-+
2×associate-/r/
2×sqrt-div
2×flip3--
2×flip3-+
1×associate-/l/
1×diff-log
1×pow1/2
1×frac-2neg
1×sub-neg
1×clear-num
1×rem-sqrt-square
1×+-commutative
Counts
4 → 76
Calls
4 calls:
Slowest
13.0ms
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
12.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
2.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))
2.0ms
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))

series301.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
142.0ms
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
69.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
60.0ms
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))
29.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify13.5s

Counts
63 → 88
Calls
63 calls:
Slowest
1.1s
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (sqrt (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
1.0s
(/ (/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a))) (* (* (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
998.0ms
(/ (sqrt (/ (* (* c -4) a) (* 2 a))) 1)
997.0ms
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (cbrt (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
948.0ms
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))

prune1.0s

Pruning

7 alts after pruning (7 fresh and 0 done)

Merged error: 0b

localize35.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(+ (* a (* c -4)) (* b b))
0.2b
(+ b (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))))
0.2b
(/ (/ c -1/2) (+ b (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b)))))
0.1b
(sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b)))

rewrite22.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
15×add-sqr-sqrt
14×add-cube-cbrt
14×*-un-lft-identity
12×times-frac
6×add-log-exp
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
5×div-inv
4×associate-/l*
4×flip-+
4×flip3-+
4×pow1
3×sqrt-prod
3×associate-/r*
2×associate-/r/
2×sqrt-div
2×+-commutative
1×associate-/l/
1×div-exp
1×pow1/2
1×frac-2neg
1×sum-log
1×clear-num
1×rem-sqrt-square
1×cbrt-undiv
Counts
4 → 69
Calls
4 calls:
Slowest
9.0ms
(/ (/ c -1/2) (+ b (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b)))))
6.0ms
(+ (* a (* c -4)) (* b b))
4.0ms
(sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b)))
3.0ms
(+ b (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))))

series321.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
141.0ms
(/ (/ c -1/2) (+ b (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b)))))
68.0ms
(+ b (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))))
59.0ms
(sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b)))
52.0ms
(+ (* a (* c -4)) (* b b))

simplify1.8s

Counts
52 → 81
Calls
52 calls:
Slowest
308.0ms
(/ (* (* (/ c -1/2) (/ c -1/2)) (/ c -1/2)) (* (* (+ b (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b)))) (+ b (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))))) (+ b (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))))))
221.0ms
(sqrt (- (* (* a (* c -4)) (* a (* c -4))) (* (* b b) (* b b))))
153.0ms
(sqrt (+ (pow (* a (* c -4)) 3) (pow (* b b) 3)))
115.0ms
(+ (* b b) (- (* (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))) (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b)))) (* b (sqrt (+ (* a (* c -4)) (* b b))))))
111.0ms
(- (* 2 b) (* 2 (/ (* a c) b)))

prune848.0ms

Pruning

7 alts after pruning (6 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

regimes188.0ms

Accuracy

0% (0.2b remaining)

Error of 0.3b against oracle of 0.0b and baseline of 0.3b

bsearch4.0ms

end0.0ms

sample4.7s

Algorithm
intervals
Results
1.6s4424×body160valid
1.3s8672×body80nan
979.0ms16672×pre80true
500.0ms3575×body80valid
0.0ms1×body320valid