Average Error: 52.5 → 0.2
Time: 33.8s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]
↓
\[\frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{a \cdot 2}}{b + \sqrt{b \cdot b - \left(a \cdot c\right) \cdot 4}}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 52.5

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]

  2. Simplified52.5

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b}{2 \cdot a}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied flip--52.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b}}}{2 \cdot a}\]

  5. Applied associate-/l/52.5

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b \cdot b}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}}\]

  6. Simplified0.4

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied associate-/r*0.2

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{2 \cdot a}}{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b}}\]

  9. Final simplification0.2

    \[\leadsto \frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{a \cdot 2}}{b + \sqrt{b \cdot b - \left(a \cdot c\right) \cdot 4}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019022 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, wide range"
  :pre (and (< 4.930380657631324e-32 a 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 b 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 c 2.028240960365167e+31))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c)))) (* 2 a)))

Details

Time bar (total: 33.0s)Debug log

sample325.0ms

Algorithm
intervals
Results
87.0ms276×body80nan
78.0ms100×body320valid
31.0ms112×body160valid
30.0ms532×pre80true
6.0ms13×body640valid
4.0ms31×body80valid

simplify97.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
96.0ms
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c)))) (* 2 a))

prune30.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 51.1b

localize29.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

29.7b
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
0.1b
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
0.1b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.1b
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))

rewrite87.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
8×add-sqr-sqrt
7×add-cube-cbrt
7×*-un-lft-identity
6×add-log-exp
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
4×flip--
4×flip3--
4×pow1
3×associate-/l*
3×sqrt-prod
3×times-frac
2×associate-/l/
2×sqrt-div
2×sub-neg
1×div-inv
1×div-exp
1×div-sub
1×diff-log
1×pow1/2
1×frac-2neg
1×associate-/r*
1×clear-num
1×rem-sqrt-square
1×cbrt-undiv
Counts
4 → 59
Calls
4 calls:
Slowest
42.0ms
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
23.0ms
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
5.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))
4.0ms
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))

series249.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
91.0ms
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
71.0ms
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
62.0ms
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))
26.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify2.0s

Counts
32 → 71
Calls
32 calls:
Slowest
329.0ms
(- (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* b b))
316.0ms
(sqrt (- (pow (* b b) 3) (pow (* (* c a) 4) 3)))
224.0ms
(- (pow (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) 3) (pow b 3))
134.0ms
(sqrt (- (* (* b b) (* b b)) (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4))))
107.0ms
(/ (* (* (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a)))

prune541.0ms

Pruning

4 alts after pruning (4 fresh and 0 done)

Merged error: 0.1b

localize13.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.4b
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
0.1b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.1b
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
0.1b
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)

rewrite66.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
6×add-log-exp
6×pow1
5×add-cube-cbrt
5×*-un-lft-identity
5×add-sqr-sqrt
4×associate-*r/
3×flip-+
3×associate-*r*
3×flip3-+
2×cbrt-unprod
2×associate-/r/
2×prod-exp
2×div-exp
2×cbrt-undiv
1×associate-/l*
1×flip--
1×div-inv
1×*-commutative
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×diff-log
1×flip3--
1×times-frac
1×distribute-lft-in
1×frac-2neg
1×sub-neg
1×associate-/r*
1×clear-num
1×+-commutative
1×distribute-rgt-in
Counts
4 → 60
Calls
4 calls:
Slowest
31.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
15.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
15.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
4.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

series328.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
130.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
100.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
70.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
28.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify3.5s

Counts
33 → 72
Calls
33 calls:
Slowest
827.0ms
(/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a)) (* (* (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))
796.0ms
(/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))
319.0ms
(+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (- (* b b) (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
299.0ms
(+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (- (* b b) (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
155.0ms
(- (log (* (* c -4) a)) (+ (log (* 2 a)) (log (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))

prune811.0ms

Pruning

6 alts after pruning (5 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

localize6.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.1b
(/ (* (* c -4) a) (* 2 a))
0.1b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.1b
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
0.1b
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))

rewrite57.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
20×times-frac
14×add-cube-cbrt
14×*-un-lft-identity
14×add-sqr-sqrt
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
6×add-log-exp
6×associate-/l*
6×div-inv
4×div-exp
4×associate-/r*
4×cbrt-undiv
4×pow1
2×flip-+
2×associate-/r/
2×flip3-+
2×frac-2neg
2×clear-num
1×associate-/l/
1×flip--
1×diff-log
1×flip3--
1×sub-neg
1×+-commutative
Counts
4 → 77
Calls
4 calls:
Slowest
29.0ms
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
18.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
5.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* 2 a))
4.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

series266.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
167.0ms
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
68.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
26.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))
5.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* 2 a))

simplify13.2s

Counts
62 → 89
Calls
62 calls:
Slowest
1.3s
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (cbrt (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
1.0s
(/ (/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a))) (* (* (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
1.0s
(/ (sqrt (/ (* (* c -4) a) (* 2 a))) 1)
1.0s
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (sqrt (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
742.0ms
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))

prune974.0ms

Pruning

6 alts after pruning (4 fresh and 2 done)

Merged error: 0b

localize17.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.4b
(/ (* (* c -4) a) (+ (* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* (* 2 a) b)))
0.1b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.1b
(+ (* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* (* 2 a) b))
0.1b
(* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))))

rewrite30.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
8×add-log-exp
8×add-cube-cbrt
8×add-exp-log
8×add-cbrt-cube
8×*-un-lft-identity
8×add-sqr-sqrt
6×associate-*r*
6×pow1
4×times-frac
4×associate-/r*
3×distribute-lft-out
3×sqrt-prod
2×flip--
2×flip-+
2×associate-/r/
2×associate-*r/
2×sqrt-div
2×flip3--
2×flip3-+
1×associate-/l*
1×div-inv
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×div-exp
1×diff-log
1×frac-2neg
1×sub-neg
1×sum-log
1×clear-num
1×+-commutative
1×cbrt-undiv
Counts
4 → 67
Calls
4 calls:
Slowest
11.0ms
(/ (* (* c -4) a) (+ (* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* (* 2 a) b)))
9.0ms
(* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))))
7.0ms
(+ (* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* (* 2 a) b))
2.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

series334.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
156.0ms
(/ (* (* c -4) a) (+ (* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* (* 2 a) b)))
74.0ms
(+ (* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* (* 2 a) b))
72.0ms
(* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))))
32.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify2.6s

Counts
44 → 79
Calls
44 calls:
Slowest
454.0ms
(/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (+ (* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* (* 2 a) b)) (+ (* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* (* 2 a) b))) (+ (* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* (* 2 a) b))))
237.0ms
(- (log (* (* c -4) a)) (log (+ (* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* (* 2 a) b))))
162.0ms
(sqrt (+ (* (* b b) (* b b)) (+ (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4)) (* (* b b) (* (* c a) 4)))))
155.0ms
(/ (* c -4) (* (cbrt (+ (* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* (* 2 a) b))) (cbrt (+ (* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* (* 2 a) b)))))
143.0ms
(+ (* (* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))))) (- (* (* (* 2 a) b) (* (* 2 a) b)) (* (* (* 2 a) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* (* 2 a) b))))

prune995.0ms

Pruning

6 alts after pruning (3 fresh and 3 done)

Merged error: 0b

regimes181.0ms

Accuracy

0% (0.1b remaining)

Error of 0.2b against oracle of 0.0b and baseline of 0.2b

bsearch2.0ms

end0.0ms

sample6.3s

Algorithm
intervals
Results
2.0s3675×body320valid
1.6s8168×body80nan
942.0ms2942×body160valid
935.0ms16168×pre80true
314.0ms474×body640valid
149.0ms909×body80valid