Average Error: 28.8 → 0.3
Time: 23.4s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
↓
\[\frac{c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(3 \cdot a\right)}}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus d

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 28.8

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied flip-+28.8

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(-b\right) \cdot \left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}}}{3 \cdot a}\]

  4. Applied associate-/l/28.8

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(-b\right) \cdot \left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}}\]

  5. Simplified0.6

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}\]
  6. Using strategy rm

  7. Applied times-frac0.6

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{3}{3 \cdot a} \cdot \frac{c \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}}\]

  8. Simplified0.5

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{a}} \cdot \frac{c \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}\]
  9. Using strategy rm

  10. Applied pow10.5

    \[\leadsto \frac{1}{a} \cdot \color{blue}{{\left(\frac{c \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}\right)}^{1}}\]

  11. Applied pow10.5

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{1}{a}\right)}^{1}} \cdot {\left(\frac{c \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}\right)}^{1}\]

  12. Applied pow-prod-down0.5

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{1}{a} \cdot \frac{c \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}\right)}^{1}}\]

  13. Simplified0.3

    \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(3 \cdot a\right)}}\right)}}^{1}\]

  14. Final simplification0.3

    \[\leadsto \frac{c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(3 \cdot a\right)}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019022 
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, narrow range"
  :pre (and (< 1.0536712127723509e-08 a 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 b 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 c 94906265.62425156))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))

Details

Time bar (total: 22.4s)Debug log

sample101.0ms

Algorithm
intervals
Results
30.0ms138×body160valid
22.0ms257×body80nan
20.0ms513×pre80true
10.0ms118×body80valid

simplify70.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
70.0ms
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a))

prune13.0ms

Pruning

2 alts after pruning (2 fresh and 0 done)

Merged error: 28.3b

localize20.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

28.2b
(+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))
0.4b
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a))
0.3b
(* (* 3 a) c)
0.3b
(- (* b b) (* (* 3 a) c))

rewrite47.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
12×*-un-lft-identity
8×add-log-exp
6×add-cube-cbrt
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
6×add-sqr-sqrt
4×associate-/l*
4×times-frac
4×pow1
3×distribute-lft-out
2×associate-/l/
2×flip-+
2×associate-+l-
2×flip3-+
2×neg-sub0
1×flip--
1×div-inv
1×*-commutative
1×associate-*l*
1×div-exp
1×div-sub
1×diff-log
1×flip3--
1×frac-2neg
1×sub-neg
1×sum-log
1×associate-/r*
1×clear-num
1×+-commutative
1×cbrt-undiv
Counts
4 → 58
Calls
4 calls:
Slowest
34.0ms
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a))
5.0ms
(+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))
3.0ms
(* (* 3 a) c)
3.0ms
(- (* b b) (* (* 3 a) c))

series178.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
73.0ms
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a))
62.0ms
(+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))
33.0ms
(- (* b b) (* (* 3 a) c))
10.0ms
(* (* 3 a) c)

simplify1.5s

Counts
30 → 70
Calls
30 calls:
Slowest
259.0ms
(+ (pow (- b) 3) (pow (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) 3))
250.0ms
(- (* (- b) (- b)) (* (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
111.0ms
(/ (* (* (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (* (* (* 3 a) (* 3 a)) (* 3 a)))
84.0ms
(- (log (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (log (* 3 a)))
67.0ms
(* (exp (- b)) (exp (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))

prune810.0ms

Pruning

4 alts after pruning (4 fresh and 0 done)

Merged error: 0.5b

localize25.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.4b
(* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
0.4b
(/ (* 3 (* c a)) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
0.3b
(* 3 (* c a))
0.3b
(* (* 3 a) c)

rewrite50.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
9×add-sqr-sqrt
7×associate-*r*
7×*-un-lft-identity
6×pow1
5×add-cube-cbrt
4×add-log-exp
4×associate-*r/
3×*-commutative
2×difference-of-squares
2×flip--
2×cbrt-unprod
2×associate-/r/
2×prod-exp
2×associate-*l*
2×div-exp
2×flip3--
2×distribute-lft-in
2×sub-neg
2×cbrt-undiv
2×distribute-rgt-in
1×distribute-lft-out--
1×associate-/l*
1×div-inv
1×sqrt-prod
1×pow-prod-down
1×times-frac
1×frac-2neg
1×associate-/r*
1×clear-num
Counts
4 → 61
Calls
4 calls:
Slowest
25.0ms
(* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
18.0ms
(/ (* 3 (* c a)) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
4.0ms
(* (* 3 a) c)
2.0ms
(* 3 (* c a))

series220.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
119.0ms
(/ (* 3 (* c a)) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
68.0ms
(* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
17.0ms
(* (* 3 a) c)
14.0ms
(* 3 (* c a))

simplify6.0s

Counts
36 → 73
Calls
36 calls:
Slowest
2.0s
(/ (* (* (* 3 (* c a)) (* 3 (* c a))) (* 3 (* c a))) (* (* (* (* 3 a) (* 3 a)) (* 3 a)) (* (* (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))))
2.0s
(/ (* (* (* 3 (* c a)) (* 3 (* c a))) (* 3 (* c a))) (* (* (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))))
428.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
414.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
175.0ms
(* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))

prune778.0ms

Pruning

13 alts after pruning (13 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize17.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(/ (* c a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
0.3b
(* (/ 1 a) (/ (* c a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
0.3b
(* (* 3 a) c)
0.3b
(- (* b b) (* (* 3 a) c))

rewrite32.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
21×add-sqr-sqrt
15×*-un-lft-identity
12×associate-*r*
12×times-frac
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
9×add-cube-cbrt
6×difference-of-squares
6×add-log-exp
6×associate-/r*
6×pow1
5×associate-*l*
4×associate-/r/
3×distribute-lft-out--
3×flip--
3×div-inv
3×sqrt-prod
3×flip3--
2×cbrt-unprod
2×*-commutative
2×prod-exp
2×div-exp
2×cbrt-undiv
1×associate-/l*
1×associate-*r/
1×associate-*l/
1×pow-prod-down
1×diff-log
1×frac-2neg
1×sub-neg
1×clear-num
1×frac-times
Counts
4 → 80
Calls
4 calls:
Slowest
14.0ms
(/ (* c a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
13.0ms
(* (/ 1 a) (/ (* c a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
2.0ms
(* (* 3 a) c)
2.0ms
(- (* b b) (* (* 3 a) c))

series277.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
114.0ms
(/ (* c a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
103.0ms
(* (/ 1 a) (/ (* c a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
42.0ms
(- (* b b) (* (* 3 a) c))
18.0ms
(* (* 3 a) c)

simplify4.0s

Counts
58 → 92
Calls
58 calls:
Slowest
388.0ms
(* (/ 1 a) (/ (* c a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
386.0ms
(+ (log (/ 1 a)) (- (log (* c a)) (log (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))))
373.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
337.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
255.0ms
(+ (log (/ 1 a)) (log (/ (* c a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))))

prune953.0ms

Pruning

8 alts after pruning (8 fresh and 0 done)

Merged error: 0b

localize30.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(* c (* 3 a))
0.3b
(- (* b b) (* c (* 3 a)))
0.3b
(/ c (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a))))))
0.2b
(- (- b) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a)))))

rewrite26.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
13×add-sqr-sqrt
9×*-un-lft-identity
8×add-log-exp
6×associate-/r*
5×add-cube-cbrt
4×difference-of-squares
4×add-exp-log
4×add-cbrt-cube
4×pow1
3×flip--
3×flip3--
2×distribute-lft-out--
2×sqrt-prod
2×associate-/r/
2×diff-log
2×sub-neg
1×div-inv
1×*-commutative
1×associate-*r*
1×frac-2neg
1×clear-num
1×neg-sub0
1×associate--l-
Counts
4 → 55
Calls
4 calls:
Slowest
11.0ms
(- (- b) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a)))))
8.0ms
(/ c (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a))))))
4.0ms
(- (* b b) (* c (* 3 a)))
2.0ms
(* c (* 3 a))

series213.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
111.0ms
(/ c (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a))))))
61.0ms
(- (- b) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a)))))
27.0ms
(- (* b b) (* c (* 3 a)))
14.0ms
(* c (* 3 a))

simplify1.3s

Counts
27 → 67
Calls
27 calls:
Slowest
383.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a)))) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a))))) (* (- b) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a)))))))
84.0ms
(- (* 3/2 (/ (* a c) b)) (* 2 b))
65.0ms
(/ (exp (* b b)) (exp (* c (* 3 a))))
61.0ms
(/ (exp (- b)) (exp (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a))))))
56.0ms
(sqrt (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a))))))

prune647.0ms

Pruning

8 alts after pruning (7 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

regimes436.0ms

Accuracy

0% (0.2b remaining)

Error of 0.3b against oracle of 0.0b and baseline of 0.3b

bsearch7.0ms

end0.0ms

sample4.6s

Algorithm
intervals
Results
1.8s4514×body160valid
1.0s8334×body80nan
852.0ms16334×pre80true
428.0ms3486×body80valid