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Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if re < -7.61821412696286e+150

   1. Initial program 60.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around -inf 8.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

   if -7.61821412696286e+150 < re < -5.536443801166738e-261

   1. Initial program 18.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   if -5.536443801166738e-261 < re < 7.690525860988237e-48

   1. Initial program 31.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 35.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(im - re\right)}}\]

   if 7.690525860988237e-48 < re < 1.600158099397074e+147

   1. Initial program 46.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip--46.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Applied associate-*r/46.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   5. Applied sqrt-div46.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   6. Simplified26.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied clear-num26.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}}\]

   if 1.600158099397074e+147 < re

   1. Initial program 62.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip--62.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Applied associate-*r/62.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   5. Applied sqrt-div62.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   6. Simplified49.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

   7. Taylor expanded around inf 19.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{\color{blue}{re} + re}}\]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification22.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -7.61821412696286 \cdot 10^{+150}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -5.536443801166738 \cdot 10^{-261}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 7.690525860988237 \cdot 10^{-48}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.600158099397074 \cdot 10^{+147}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}{\sqrt{im \cdot \left(2.0 \cdot im\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{im \cdot \left(2.0 \cdot im\right)}}{\sqrt{re + re}} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019022 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

Details

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