Average Error: 33.2 → 28.5
Time: 1.3m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \le 2.9997718144392116 \cdot 10^{-66}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}} \cdot 2\right) - \left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(\frac{\ell}{Om} \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(t - \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}} \cdot 2\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)} \cdot \sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot U}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus n

Bits error versus U

Bits error versus t

Bits error versus l

Bits error versus Om

Bits error versus U*

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if t < 2.9997718144392116e-66

    1. Initial program 33.5

      \[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied unpow233.5

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot \color{blue}{\left(\frac{\ell}{Om} \cdot \frac{\ell}{Om}\right)}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]

    4. Applied associate-*r*32.6

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \color{blue}{\left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied associate-/l*29.8

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \color{blue}{\frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied associate-*l*29.6

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \color{blue}{\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(\frac{\ell}{Om} \cdot \left(U - U*\right)\right)}\right)}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied associate-*l*29.9

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(\frac{\ell}{Om} \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)\right)}}\]

    if 2.9997718144392116e-66 < t

    1. Initial program 32.6

      \[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied unpow232.6

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot \color{blue}{\left(\frac{\ell}{Om} \cdot \frac{\ell}{Om}\right)}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]

    4. Applied associate-*r*32.1

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \color{blue}{\left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied associate-/l*29.3

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \color{blue}{\frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod25.4

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot U} \cdot \sqrt{\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification28.5

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \le 2.9997718144392116 \cdot 10^{-66}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}} \cdot 2\right) - \left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(\frac{\ell}{Om} \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(t - \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}} \cdot 2\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)} \cdot \sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot U}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019022 
(FPCore (n U t l Om U*)
  :name "Toniolo and Linder, Equation (13)"
  (sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))))

Details

Time bar (total: 1.3m)Debug log

sample320.0ms

Algorithm
intervals
Results
101.0ms291×body80valid
100.0ms436×body80nan

simplify109.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
108.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))

prune21.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 34.4b

localize95.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

21.6b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
8.7b
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
8.2b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
7.5b
(* n (pow (/ l Om) 2))

rewrite58.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
22×associate-*r/
14×associate-*r*
11×flip--
11×flip3--
8×add-cube-cbrt
8×frac-sub
8×add-exp-log
8×add-cbrt-cube
8×*-un-lft-identity
8×pow1
8×add-sqr-sqrt
6×sqrt-div
6×distribute-lft-in
6×sub-neg
6×distribute-rgt-in
4×add-log-exp
4×associate--l+
4×unpow-prod-down
3×*-commutative
2×cbrt-unprod
2×prod-exp
2×pow-prod-down
2×associate-*l*
1×unpow2
1×div-inv
1×sqrt-prod
1×pow1/2
Counts
4 → 81
Calls
4 calls:
Slowest
23.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
19.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
11.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
2.0ms
(* n (pow (/ l Om) 2))

series1.8s

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
1.3s
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
391.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
88.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
47.0ms
(* n (pow (/ l Om) 2))

simplify7.2s

Counts
60 → 93
Calls
60 calls:
Slowest
378.0ms
(* (+ t (* 2 (/ (* l l) Om))) (+ U U*))
361.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ (* l l) Om)) 3)) (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*)))) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ (* l l) Om)) (* 2 (/ (* l l) Om))) (* t (* 2 (/ (* l l) Om))))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- (pow U 3) (pow U* 3)))))))
319.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U*))
299.0ms
(+ (log (* (* 2 n) U)) (log (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
293.0ms
(sqrt (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))

prune1.5s

Pruning

12 alts after pruning (12 fresh and 0 done)

Merged error: 26.8b

localize19.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

21.6b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
8.7b
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))
8.2b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
6.7b
(/ (* l l) Om)

rewrite72.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
103×associate-*r/
45×frac-times
44×flip--
44×frac-sub
44×flip3--
30×associate-*l/
24×sqrt-div
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
11×pow1
6×add-cube-cbrt
6×associate-*r*
6×distribute-lft-in
6×*-un-lft-identity
6×sub-neg
6×add-sqr-sqrt
6×distribute-rgt-in
4×add-log-exp
4×cbrt-unprod
4×associate--l+
4×prod-exp
4×pow-prod-down
2×*-commutative
2×associate-*l*
1×associate-/l*
1×div-inv
1×sqrt-prod
1×pow1/2
1×frac-2neg
1×clear-num
Counts
4 → 124
Calls
4 calls:
Slowest
26.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
19.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
16.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))
6.0ms
(/ (* l l) Om)

series1.3s

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
962.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
276.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
68.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))
10.0ms
(/ (* l l) Om)

simplify14.4s

Counts
107 → 136
Calls
107 calls:
Slowest
682.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ (* l l) Om)) 3)) (* Om (+ U U*))) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ (* l l) Om)) (* 2 (/ (* l l) Om))) (* t (* 2 (/ (* l l) Om))))) (* (* (* n l) (/ l Om)) (- (* U U) (* U* U*)))))))
380.0ms
(- (/ (* U (* n (pow l 2))) (pow Om 2)) (/ (* n (* U* (pow l 2))) (pow Om 2)))
358.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ (* l l) Om)) 3)) (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*)))) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ (* l l) Om)) (* 2 (/ (* l l) Om))) (* t (* 2 (/ (* l l) Om))))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- (pow U 3) (pow U* 3)))))))
292.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ (* l l) Om)) 3)) (* Om (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*))))) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ (* l l) Om)) (* 2 (/ (* l l) Om))) (* t (* 2 (/ (* l l) Om))))) (* (* (* n (/ l Om)) l) (- (pow U 3) (pow U* 3)))))))
290.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ (* l l) Om)) 3)) (* Om (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*))))) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ (* l l) Om)) (* 2 (/ (* l l) Om))) (* t (* 2 (/ (* l l) Om))))) (* (* (* n l) (/ l Om)) (- (pow U 3) (pow U* 3)))))))

prune1.7s

Pruning

12 alts after pruning (12 fresh and 0 done)

Merged error: 22.1b

localize19.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

21.6b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
8.7b
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))
8.2b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
4.3b
(- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))

rewrite57.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
125×associate-*r/
66×frac-sub
64×flip--
64×flip3--
63×frac-times
42×associate-*l/
24×sqrt-div
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
11×pow1
10×sub-neg
8×distribute-lft-in
8×distribute-rgt-in
6×add-log-exp
6×add-cube-cbrt
6×associate--l+
6×associate-*r*
6×*-un-lft-identity
6×add-sqr-sqrt
4×associate--r+
4×cbrt-unprod
4×prod-exp
4×pow-prod-down
2×*-commutative
2×associate-*l*
1×sqrt-prod
1×diff-log
1×pow1/2
1×associate--l-
Counts
4 → 154
Calls
4 calls:
Slowest
23.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
11.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
9.0ms
(- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))
9.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))

series1.2s

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
774.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
222.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
152.0ms
(- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))
63.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))

simplify19.0s

Counts
156 → 166
Calls
156 calls:
Slowest
474.0ms
(* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* Om Om))
248.0ms
(* (+ t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* Om Om))
245.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ l (/ Om l))) 3)) (* Om (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*))))) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* (* (* n l) (/ l Om)) (- (pow U 3) (pow U* 3)))))))
241.0ms
(* (+ t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* Om Om))
238.0ms
(* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* Om Om))

prune2.3s

Pruning

13 alts after pruning (13 fresh and 0 done)

Merged error: 21.4b

localize12.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

21.6b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*))))))
8.2b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)))))
5.8b
(* (/ l Om) (- U U*))
4.3b
(- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*))))

rewrite62.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
140×associate-*r/
66×frac-sub
62×flip--
62×flip3--
56×frac-times
24×sqrt-div
19×associate-*l/
14×distribute-lft-in
14×distribute-rgt-in
12×sub-neg
8×associate--r+
8×add-exp-log
8×add-cbrt-cube
8×pow1
7×add-cube-cbrt
7×*-un-lft-identity
7×add-sqr-sqrt
6×add-log-exp
6×associate--l+
6×associate-*r*
5×associate-*l*
2×cbrt-unprod
2×*-commutative
2×prod-exp
2×pow-prod-down
1×div-inv
1×sqrt-prod
1×diff-log
1×pow1/2
1×associate--l-
Counts
4 → 152
Calls
4 calls:
Slowest
31.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)))))
15.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*))))))
10.0ms
(- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*))))
3.0ms
(* (/ l Om) (- U U*))

series1.2s

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
758.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*))))))
216.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)))))
148.0ms
(- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*))))
32.0ms
(* (/ l Om) (- U U*))

simplify17.2s

Counts
148 → 164
Calls
148 calls:
Slowest
464.0ms
(* (+ t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* Om Om))
415.0ms
(* (* (* (/ l Om) (/ l Om)) (/ l Om)) (* (* (- U U*) (- U U*)) (- U U*)))
238.0ms
(* (+ t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* Om Om))
236.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ l (/ Om l))) 3)) (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*)))) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* (* n (/ l Om)) (* (/ l Om) (- (pow U 3) (pow U* 3))))))))
235.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ l (/ Om l))) 3)) (* Om (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*))))) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* (* n l) (* (/ l Om) (- (pow U 3) (pow U* 3))))))))

prune2.3s

Pruning

13 alts after pruning (12 fresh and 1 done)

Merged error: 21.4b

regimes594.0ms

Accuracy

10.5% (8.4b remaining)

Error of 28.5b against oracle of 20.1b and baseline of 29.5b

bsearch180.0ms

end0.0ms

sample5.2s

Algorithm
intervals
Results
2.8s15298×body80nan
1.8s9221×body80valid