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Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if re < -3.423353045456592e+72

   1. Initial program 46.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around -inf 11.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

   if -3.423353045456592e+72 < re < -9.627507825106705e-299

   1. Initial program 20.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt20.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

   if -9.627507825106705e-299 < re < 3.771304173360558e+140

   1. Initial program 38.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied sqrt-prod38.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied flip--38.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\right)\]

   6. Applied sqrt-div38.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\right)\]

   7. Simplified20.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)\]

   if 3.771304173360558e+140 < re

   1. Initial program 61.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied sqrt-prod61.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied flip--61.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\right)\]

   6. Applied sqrt-div61.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\right)\]

   7. Simplified47.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)\]

   8. Taylor expanded around inf 8.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{re} + re}}\right)\]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification17.3

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -3.423353045456592 \cdot 10^{+72}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -9.627507825106705 \cdot 10^{-299}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} - re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.771304173360558 \cdot 10^{+140}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\right) \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\left|im\right|}{\sqrt{re + re}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019018 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

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