Average Error: 33.0 → 26.1
Time: 1.2m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \le 1.04313341279143 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}} \cdot 2\right) - \left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \left(\frac{\ell}{Om} \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot n} \cdot \sqrt{\left(\left(t - \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}} \cdot 2\right) - \left(\left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right) \cdot U}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus n

Bits error versus U

Bits error versus t

Bits error versus l

Bits error versus Om

Bits error versus U*

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if n < 1.04313341279143e-310

    1. Initial program 32.8

      \[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied associate-/l*30.4

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \color{blue}{\frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied associate-*l*30.8

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)}}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied unpow230.8

      \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(n \cdot \color{blue}{\left(\frac{\ell}{Om} \cdot \frac{\ell}{Om}\right)}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)}\]

    8. Applied associate-*r*29.8

      \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \color{blue}{\left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied associate-*l*29.4

      \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \color{blue}{\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(\frac{\ell}{Om} \cdot \left(U - U*\right)\right)}\right)\right)}\]

    if 1.04313341279143e-310 < n

    1. Initial program 33.1

      \[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied associate-/l*30.5

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \color{blue}{\frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied associate-*l*31.2

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)}}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied unpow231.2

      \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(n \cdot \color{blue}{\left(\frac{\ell}{Om} \cdot \frac{\ell}{Om}\right)}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)}\]

    8. Applied associate-*r*30.2

      \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \color{blue}{\left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied sqrt-prod22.8

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{2 \cdot n} \cdot \sqrt{U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification26.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \le 1.04313341279143 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}} \cdot 2\right) - \left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \left(\frac{\ell}{Om} \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot n} \cdot \sqrt{\left(\left(t - \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}} \cdot 2\right) - \left(\left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right) \cdot U}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019018 
(FPCore (n U t l Om U*)
  :name "Toniolo and Linder, Equation (13)"
  (sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))))

Details

Time bar (total: 1.2m)Debug log

sample544.0ms

Algorithm
intervals
Results
146.0ms411×body80nan
144.0ms286×body80valid

simplify126.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
126.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))

prune12.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 34.0b

localize72.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

19.9b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
10.4b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
8.4b
(/ (* l l) Om)
6.8b
(* n (pow (/ l Om) 2))

rewrite45.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
20×associate-*r/
11×associate-*r*
10×flip--
10×flip3--
8×frac-sub
7×add-cube-cbrt
7×*-un-lft-identity
7×add-sqr-sqrt
6×add-exp-log
6×sqrt-div
6×add-cbrt-cube
6×pow1
4×add-log-exp
4×associate--l+
4×distribute-lft-in
4×unpow-prod-down
4×sub-neg
4×distribute-rgt-in
2×div-inv
2×*-commutative
1×unpow2
1×associate-/l*
1×cbrt-unprod
1×sqrt-prod
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×pow1/2
1×frac-2neg
1×clear-num
Counts
4 → 71
Calls
4 calls:
Slowest
28.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
11.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
2.0ms
(/ (* l l) Om)
2.0ms
(* n (pow (/ l Om) 2))

series1.7s

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
1.3s
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
380.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
37.0ms
(* n (pow (/ l Om) 2))
17.0ms
(/ (* l l) Om)

simplify5.8s

Counts
48 → 83
Calls
48 calls:
Slowest
366.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (* t t) (* (* 2 (/ (* l l) Om)) (* 2 (/ (* l l) Om)))) (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*)))) (* (+ t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- (pow U 3) (pow U* 3)))))))
361.0ms
(* (+ t (* 2 (/ (* l l) Om))) (+ U U*))
358.0ms
(+ (log (* (* 2 n) U)) (log (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
327.0ms
(sqrt (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
306.0ms
(cbrt (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))

prune1.7s

Pruning

11 alts after pruning (11 fresh and 0 done)

Merged error: 23.5b

localize38.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

19.9b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
10.4b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
6.8b
(* n (pow (/ l Om) 2))
6.5b
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))

rewrite47.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
22×associate-*r/
14×associate-*r*
11×flip--
11×flip3--
8×add-cube-cbrt
8×frac-sub
8×add-exp-log
8×add-cbrt-cube
8×*-un-lft-identity
8×pow1
8×add-sqr-sqrt
6×sqrt-div
6×distribute-lft-in
6×sub-neg
6×distribute-rgt-in
4×add-log-exp
4×associate--l+
4×unpow-prod-down
3×*-commutative
2×cbrt-unprod
2×prod-exp
2×pow-prod-down
2×associate-*l*
1×unpow2
1×div-inv
1×sqrt-prod
1×pow1/2
Counts
4 → 81
Calls
4 calls:
Slowest
20.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
14.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
9.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
2.0ms
(* n (pow (/ l Om) 2))

series1.6s

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
1.1s
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
380.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
84.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
47.0ms
(* n (pow (/ l Om) 2))

simplify8.5s

Counts
60 → 93
Calls
60 calls:
Slowest
764.0ms
(* (+ t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (+ U U*))
334.0ms
(* (+ t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*))))
332.0ms
(- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))
327.0ms
(* (- U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))
319.0ms
(cbrt (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))

prune1.7s

Pruning

11 alts after pruning (11 fresh and 0 done)

Merged error: 22.6b

localize10.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

19.9b
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))))
6.8b
(* n (pow (/ l Om) 2))
6.5b
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
6.2b
(* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))

rewrite81.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
34×associate-*r/
18×distribute-lft-in
18×distribute-rgt-in
12×associate-*r*
11×flip--
11×flip3--
10×sub-neg
8×frac-sub
8×add-exp-log
8×associate--l+
8×add-cbrt-cube
8×pow1
7×add-cube-cbrt
7×*-un-lft-identity
7×add-sqr-sqrt
6×sqrt-div
4×add-log-exp
4×unpow-prod-down
3×*-commutative
2×cbrt-unprod
2×prod-exp
2×pow-prod-down
2×associate-*l*
1×unpow2
1×div-inv
1×sqrt-prod
1×pow1/2
Counts
4 → 87
Calls
4 calls:
Slowest
32.0ms
(* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
31.0ms
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))))
11.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
4.0ms
(* n (pow (/ l Om) 2))

series1.5s

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
1.1s
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))))
274.0ms
(* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
87.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
34.0ms
(* n (pow (/ l Om) 2))

simplify9.2s

Counts
65 → 99
Calls
65 calls:
Slowest
532.0ms
(* (* U (- (- (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))) (* 2 n))
504.0ms
(* (* U (- (- (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))) (* 2 n))
387.0ms
(* (- U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))
360.0ms
(+ (log (* 2 n)) (log (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))))
351.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U*))

prune2.1s

Pruning

13 alts after pruning (13 fresh and 0 done)

Merged error: 18.6b

localize29.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

19.9b
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))))
6.5b
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))
6.2b
(* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
5.9b
(* n (/ l Om))

rewrite101.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
152×associate-*r/
45×frac-times
44×flip--
44×frac-sub
44×flip3--
30×associate-*l/
24×sqrt-div
18×distribute-lft-in
18×distribute-rgt-in
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
11×pow1
10×sub-neg
8×associate--l+
8×associate-*r*
6×add-cube-cbrt
6×*-un-lft-identity
6×add-sqr-sqrt
4×add-log-exp
4×cbrt-unprod
4×prod-exp
4×pow-prod-down
3×*-commutative
2×associate-*l*
1×div-inv
1×sqrt-prod
1×pow1/2
Counts
4 → 132
Calls
4 calls:
Slowest
45.0ms
(* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
33.0ms
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))))
15.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))
2.0ms
(* n (/ l Om))

series1.7s

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
1.2s
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))))
340.0ms
(* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
77.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))
21.0ms
(* n (/ l Om))

simplify21.3s

Counts
116 → 144
Calls
116 calls:
Slowest
771.0ms
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ l (/ Om l))) 3)) (* Om (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*))))) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* (* (* n l) (/ l Om)) (- (pow U 3) (pow U* 3))))))))
539.0ms
(+ (/ (* (sqrt 2) (* U (* (sqrt -1) (* n l)))) Om) (+ (* 1/2 (/ (* (sqrt 2) (* n (* U* l))) (* (sqrt -1) Om))) (* 1/2 (/ (* (sqrt 2) (* U* l)) (* U (sqrt -1))))))
436.0ms
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ l (/ Om l))) 3)) (+ U U*)) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- (* U U) (* U* U*))))))))
423.0ms
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ l (/ Om l))) 3)) (* (* Om Om) (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*))))) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* (* (* n l) l) (- (pow U 3) (pow U* 3))))))))
408.0ms
(* (* (* n l) (/ l Om)) (- (* U U) (* U* U*)))

prune2.9s

Pruning

18 alts after pruning (18 fresh and 0 done)

Merged error: 17.0b

regimes1.4s

Accuracy

27.3% (9.5b remaining)

Error of 26.1b against oracle of 16.6b and baseline of 29.7b

bsearch397.0ms

end0.0ms

sample7.2s

Algorithm
intervals
Results
4.2s14921×body80nan
2.2s9163×body80valid