Average Error: 0.2 → 0.0
Time: 30.5s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]
↓
\[\left((2 \cdot \left(\left(b \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot a\right)\right) + \left({b}^{4} + {a}^{4}\right))_* + 4 \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right) + \left(1 + a\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  2. Taylor expanded around 0 0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({b}^{4} + \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right) + {a}^{4}\right)\right)} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  3. Simplified0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{(2 \cdot \left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot b\right)\right) + \left({a}^{4} + {b}^{4}\right))_*} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  4. Final simplification0.0

    \[\leadsto \left((2 \cdot \left(\left(b \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot a\right)\right) + \left({b}^{4} + {a}^{4}\right))_* + 4 \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right) + \left(1 + a\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019016 +o rules:numerics
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (25)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1))

Details

Time bar (total: 30.3s)Debug log

sample284.0ms

Algorithm
intervals
Results
674×(pre true 80)
674×(body real 80)

simplify236.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
235.0ms
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)

prune14.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize55.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.7b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.3b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
0.1b
(* (* a a) (+ 1 a))
0.0b
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))

rewrite28.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
9×add-cube-cbrt
9×add-exp-log
9×*-un-lft-identity
9×pow1
9×add-sqr-sqrt
8×add-cbrt-cube
7×fma-def
6×add-log-exp
6×associate-*r*
6×unpow-prod-down
4×log1p-expm1-u
4×associate-*r/
4×distribute-lft-in
4×expm1-log1p-u
4×distribute-rgt-in
2×unpow2
2×flip-+
2×cbrt-unprod
2×*-commutative
2×prod-exp
2×pow-prod-down
2×associate-*l*
2×flip3-+
2×sub-neg
2×associate-+r+
1×flip--
1×pow-exp
1×flip3--
1×pow-pow
1×sum-log
1×+-commutative
1×pow-to-exp
Counts
4 → 82
Calls
4 calls:
Slowest
17.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
4.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
3.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
3.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)

series157.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
73.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
34.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
26.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
24.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

simplify5.4s

Counts
48 → 94
Calls
48 calls:
Slowest
1.3s
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
522.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
402.0ms
(* 4 (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))
273.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
268.0ms
(* (* (* b b) (- 1 (* 3 a))) 4)

prune1.1s

Pruning

3 alts after pruning (3 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize25.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.7b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.2b
(* (* a b) (* a b))
0.1b
(* (* a a) (+ 1 a))
0.0b
(+ (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))

rewrite16.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
13×pow1
10×add-exp-log
10×add-cbrt-cube
7×add-cube-cbrt
7×associate-*r*
7×*-un-lft-identity
7×add-sqr-sqrt
6×add-log-exp
4×log1p-expm1-u
4×associate-*r/
4×distribute-lft-in
4×expm1-log1p-u
4×distribute-rgt-in
3×cbrt-unprod
3×*-commutative
3×prod-exp
3×pow-prod-down
3×associate-*l*
3×fma-def
2×flip-+
2×flip3-+
2×sub-neg
2×associate-+r+
1×flip--
1×fma-udef
1×pow-prod-up
1×flip3--
1×pow-plus
1×sum-log
1×associate-+l+
1×+-commutative
1×pow2
Counts
4 → 81
Calls
4 calls:
Slowest
5.0ms
(+ (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
4.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
3.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
3.0ms
(* (* a b) (* a b))

series177.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
92.0ms
(+ (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
36.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
27.0ms
(* (* a b) (* a b))
22.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))

simplify4.7s

Counts
46 → 93
Calls
46 calls:
Slowest
767.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
542.0ms
(* (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)) (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)))
539.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
397.0ms
(* 4 (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))
295.0ms
(* (* (* b b) (- 1 (* 3 a))) 4)

prune1.3s

Pruning

3 alts after pruning (2 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize17.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

8.8b
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
8.8b
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
0.7b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.7b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

rewrite42.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
10×add-sqr-sqrt
8×add-cube-cbrt
8×add-exp-log
8×add-cbrt-cube
8×*-un-lft-identity
8×pow1
6×sqrt-prod
6×associate-*r*
4×add-log-exp
4×log1p-expm1-u
4×associate-*r/
4×sqrt-div
4×distribute-lft-in
4×sub-neg
4×expm1-log1p-u
4×distribute-rgt-in
2×flip--
2×flip-+
2×cbrt-unprod
2×*-commutative
2×prod-exp
2×pow-prod-down
2×associate-*l*
2×pow1/2
2×flip3--
2×flip3-+
2×rem-sqrt-square
Counts
4 → 78
Calls
4 calls:
Slowest
16.0ms
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
16.0ms
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
6.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
4.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

series235.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
93.0ms
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
86.0ms
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
29.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
26.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

simplify5.5s

Counts
48 → 90
Calls
48 calls:
Slowest
508.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
429.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
284.0ms
(sqrt (+ (pow (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) 3) (pow (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))) 3)))
226.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
204.0ms
(- (* 2 b) (+ (* 3 (* a b)) (* 15/8 (* (pow a 2) b))))

prune1.0s

Pruning

2 alts after pruning (1 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize19.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

8.8b
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
8.8b
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
8.8b
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
0.7b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

rewrite69.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
11×add-sqr-sqrt
9×sqrt-prod
8×add-cube-cbrt
8×*-un-lft-identity
6×add-exp-log
6×sqrt-div
6×add-cbrt-cube
6×pow1
4×add-log-exp
4×log1p-expm1-u
4×expm1-log1p-u
3×flip-+
3×associate-*r*
3×pow1/2
3×flip3-+
3×rem-sqrt-square
2×associate-*r/
2×distribute-lft-in
2×sub-neg
2×distribute-rgt-in
1×flip--
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×flip3--
Counts
4 → 71
Calls
4 calls:
Slowest
28.0ms
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
18.0ms
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
17.0ms
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
4.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

series256.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
78.0ms
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
77.0ms
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
77.0ms
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
24.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

simplify4.5s

Counts
42 → 83
Calls
42 calls:
Slowest
401.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
198.0ms
(- (* 2 b) (+ (* 3 (* a b)) (* 15/8 (* (pow a 2) b))))
198.0ms
(- (* 2 b) (+ (* 3 (* a b)) (* 15/8 (* (pow a 2) b))))
196.0ms
(- (* 2 b) (+ (* 3 (* a b)) (* 15/8 (* (pow a 2) b))))
178.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

prune1.0s

Pruning

2 alts after pruning (0 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

regimes106.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch3.0ms

end0.0ms

sample4.0s

Algorithm
intervals
Results
20583×(pre true 80)
20583×(body real 80)