Average Error: 28.5 → 0.4
Time: 41.4s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
↓
\[\frac{1}{\frac{\left(-b\right) - \sqrt{(\left(a \cdot -3\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}}{c}}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus d

Derivation

  1. Initial program 28.5

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied flip-+28.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(-b\right) \cdot \left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}}}{3 \cdot a}\]

  4. Applied associate-/l/28.5

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(-b\right) \cdot \left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}}\]

  5. Simplified0.6

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}\]
  6. Using strategy rm

  7. Applied times-frac0.6

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{3}{3 \cdot a} \cdot \frac{c \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}}\]

  8. Simplified0.5

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{a}} \cdot \frac{c \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}\]

  9. Simplified0.5

    \[\leadsto \frac{1}{a} \cdot \color{blue}{\frac{c \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}}\]
  10. Using strategy rm

  11. Applied pow10.5

    \[\leadsto \frac{1}{a} \cdot \color{blue}{{\left(\frac{c \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right)}^{1}}\]

  12. Applied pow10.5

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{1}{a}\right)}^{1}} \cdot {\left(\frac{c \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right)}^{1}\]

  13. Applied pow-prod-down0.5

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{1}{a} \cdot \frac{c \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right)}^{1}}\]

  14. Simplified0.3

    \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{c}{\left(-b\right) - \sqrt{(\left(a \cdot -3\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}}\right)}}^{1}\]
  15. Using strategy rm

  16. Applied clear-num0.4

    \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{\left(-b\right) - \sqrt{(\left(a \cdot -3\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}}{c}}\right)}}^{1}\]

  17. Final simplification0.4

    \[\leadsto \frac{1}{\frac{\left(-b\right) - \sqrt{(\left(a \cdot -3\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}}{c}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019016 +o rules:numerics
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, narrow range"
  :pre (and (< 1.0536712127723509e-08 a 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 b 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 c 94906265.62425156))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))

Details

Time bar (total: 40.1s)Debug log

sample207.0ms

Algorithm
intervals
Results
522×(pre true 80)
266×(body nan 80)
134×(body real 160)
122×(body real 80)

simplify55.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
55.0ms
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a))

prune11.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 28.2b

localize36.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

28.1b
(+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))
0.4b
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a))
0.3b
(- (* b b) (* (* 3 a) c))
0.3b
(* (* 3 a) c)

rewrite63.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
13×*-un-lft-identity
8×add-log-exp
7×add-cube-cbrt
7×add-sqr-sqrt
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
4×associate-/l*
4×log1p-expm1-u
4×times-frac
4×fma-def
4×pow1
4×expm1-log1p-u
3×distribute-lft-out
2×associate-/l/
2×flip-+
2×associate-+l-
2×flip3-+
2×neg-sub0
1×flip--
1×div-inv
1×*-commutative
1×prod-diff
1×associate-*l*
1×div-exp
1×div-sub
1×diff-log
1×fma-neg
1×flip3--
1×frac-2neg
1×sub-neg
1×sum-log
1×neg-mul-1
1×associate-/r*
1×clear-num
1×+-commutative
1×cbrt-undiv
Counts
4 → 72
Calls
4 calls:
Slowest
40.0ms
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a))
12.0ms
(+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))
5.0ms
(- (* b b) (* (* 3 a) c))
5.0ms
(* (* 3 a) c)

series189.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
70.0ms
(+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))
62.0ms
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a))
45.0ms
(- (* b b) (* (* 3 a) c))
13.0ms
(* (* 3 a) c)

simplify1.8s

Counts
34 → 84
Calls
34 calls:
Slowest
384.0ms
(- (* (- b) (- b)) (* (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
166.0ms
(+ (pow (- b) 3) (pow (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) 3))
116.0ms
(/ (exp (* b b)) (exp (* (* 3 a) c)))
109.0ms
(/ (* (* (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (* (* (* 3 a) (* 3 a)) (* 3 a)))
105.0ms
(- (log (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (log (* 3 a)))

prune877.0ms

Pruning

8 alts after pruning (8 fresh and 0 done)

Merged error: 0.5b

localize28.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.5b
(/ (* 3 (* c a)) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
0.4b
(* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
0.3b
(* 3 (* c a))
0.3b
(- (* b b) (* (* 3 a) c))

rewrite65.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
49×prod-diff
37×add-sqr-sqrt
35×*-un-lft-identity
33×add-cube-cbrt
26×distribute-lft-in
26×distribute-rgt-in
25×sqrt-prod
12×neg-mul-1
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
7×associate-*r*
6×add-log-exp
6×pow1
4×log1p-expm1-u
4×associate-*r/
4×expm1-log1p-u
3×flip--
3×flip3--
3×sub-neg
2×difference-of-squares
2×cbrt-unprod
2×*-commutative
2×associate-/r/
2×prod-exp
2×div-exp
2×cbrt-undiv
1×distribute-lft-out--
1×associate-/l*
1×div-inv
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×diff-log
1×fma-neg
1×times-frac
1×frac-2neg
1×associate-/r*
1×clear-num
Counts
4 → 122
Calls
4 calls:
Slowest
32.0ms
(* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
22.0ms
(/ (* 3 (* c a)) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
5.0ms
(- (* b b) (* (* 3 a) c))
2.0ms
(* 3 (* c a))

series270.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
114.0ms
(/ (* 3 (* c a)) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
99.0ms
(* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
41.0ms
(- (* b b) (* (* 3 a) c))
17.0ms
(* 3 (* c a))

simplify17.5s

Counts
87 → 134
Calls
87 calls:
Slowest
2.0s
(/ (* (* (* 3 (* c a)) (* 3 (* c a))) (* 3 (* c a))) (* (* (* (* 3 a) (* 3 a)) (* 3 a)) (* (* (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))))
1.6s
(/ (* (* (* 3 (* c a)) (* 3 (* c a))) (* 3 (* c a))) (* (* (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))))
478.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
403.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
397.0ms
(* (* 3 a) (fma (- (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) 1 (* (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) 1)))

prune1.8s

Pruning

13 alts after pruning (13 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize21.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.4b
(* (/ 1 a) (/ (* c a) (- (- b) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b))))))
0.4b
(/ (* c a) (- (- b) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b)))))
0.3b
(fma -3 (* c a) (* b b))
0.2b
(- (- b) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b))))

rewrite43.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
40×add-sqr-sqrt
32×*-un-lft-identity
24×add-cube-cbrt
24×prod-diff
16×sqrt-prod
12×associate-*r*
12×times-frac
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
8×difference-of-squares
7×neg-mul-1
6×add-log-exp
6×associate-/r*
6×pow1
4×distribute-lft-out--
4×log1p-expm1-u
4×associate-/r/
4×associate-*l*
4×fma-neg
4×expm1-log1p-u
3×flip--
3×div-inv
3×flip3--
2×cbrt-unprod
2×prod-exp
2×div-exp
2×cbrt-undiv
1×associate-/l*
1×fma-udef
1×*-commutative
1×associate-*r/
1×associate-*l/
1×pow-prod-down
1×diff-log
1×frac-2neg
1×sub-neg
1×clear-num
1×frac-times
1×neg-sub0
1×associate--l-
Counts
4 → 119
Calls
4 calls:
Slowest
15.0ms
(/ (* c a) (- (- b) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b)))))
14.0ms
(- (- b) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b))))
11.0ms
(* (/ 1 a) (/ (* c a) (- (- b) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b))))))
0.0ms
(fma -3 (* c a) (* b b))

series378.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
150.0ms
(/ (* c a) (- (- b) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b)))))
122.0ms
(* (/ 1 a) (/ (* c a) (- (- b) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b))))))
59.0ms
(- (- b) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b))))
46.0ms
(fma -3 (* c a) (* b b))

simplify5.7s

Counts
113 → 131
Calls
113 calls:
Slowest
593.0ms
(* (* (* (/ 1 a) (/ 1 a)) (/ 1 a)) (/ (* (* (* c a) (* c a)) (* c a)) (* (* (- (- b) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b)))) (- (- b) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b))))) (- (- b) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b)))))))
450.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b))) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b)))) (* (- b) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b))))))
416.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b))) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b)))) (* (- b) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b))))))
308.0ms
(* (/ 1 a) (/ (* c a) (- (- b) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b))))))
289.0ms
(+ (log (/ 1 a)) (- (log (* c a)) (log (- (- b) (sqrt (fma -3 (* c a) (* b b)))))))

prune1.5s

Pruning

10 alts after pruning (10 fresh and 0 done)

Merged error: 0b

localize31.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(fma (* a -3) c (* b b))
0.2b
(/ c (- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))))
0.2b
(- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b))))
0.1b
(sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))

rewrite11.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
30×add-sqr-sqrt
25×*-un-lft-identity
24×prod-diff
21×add-cube-cbrt
17×sqrt-prod
7×neg-mul-1
6×add-log-exp
6×associate-/r*
4×difference-of-squares
4×log1p-expm1-u
4×add-exp-log
4×fma-neg
4×add-cbrt-cube
4×pow1
4×expm1-log1p-u
2×distribute-lft-out--
2×flip--
2×associate-/r/
2×flip3--
1×div-inv
1×fma-udef
1×diff-log
1×pow1/2
1×frac-2neg
1×sub-neg
1×clear-num
1×rem-sqrt-square
1×neg-sub0
1×associate--l-
Counts
4 → 90
Calls
4 calls:
Slowest
5.0ms
(- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b))))
3.0ms
(/ c (- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))))
1.0ms
(sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))
0.0ms
(fma (* a -3) c (* b b))

series263.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
101.0ms
(/ c (- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))))
68.0ms
(- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b))))
65.0ms
(sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))
29.0ms
(fma (* a -3) c (* b b))

simplify3.1s

Counts
80 → 102
Calls
80 calls:
Slowest
495.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (fma (* a -3) c (* b b))) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))) (* (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b))))))
73.0ms
(fma 1 (- b) (- (* (sqrt (cbrt (fma (* a -3) c (* b b)))) (sqrt (* (cbrt (fma (* a -3) c (* b b))) (cbrt (fma (* a -3) c (* b b))))))))
66.0ms
(fma 1 (- b) (- (* (sqrt (fma (* a -3) c (* b b))) (sqrt 1))))
64.0ms
(fma (* (cbrt (- b)) (cbrt (- b))) (cbrt (- b)) (- (* (sqrt (fma (* a -3) c (* b b))) 1)))
63.0ms
(fma (* (cbrt (- b)) (cbrt (- b))) (cbrt (- b)) (- (* (sqrt (cbrt (fma (* a -3) c (* b b)))) (sqrt (* (cbrt (fma (* a -3) c (* b b))) (cbrt (fma (* a -3) c (* b b))))))))

prune1.2s

Pruning

9 alts after pruning (9 fresh and 0 done)

Merged error: 0b

regimes290.0ms

Accuracy

0% (0.4b remaining)

Error of 0.4b against oracle of 0.0b and baseline of 0.4b

bsearch3.0ms

end0.0ms

sample4.6s

Algorithm
intervals
Results
16358×(pre true 80)
8357×(body nan 80)
4453×(body real 160)
3548×(body real 80)