Average Error: 43.8 → 0.8
Time: 34.9s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]
↓
\[(im \cdot \left(\log_* (1 + (e^{(\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*} - 1)^*)\right) + \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{5}\right))_* \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original43.8
Target0.3
Herbie0.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| \lt 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(\frac{1}{6} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{120} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Initial program 43.8

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

  2. Taylor expanded around 0 0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(\frac{1}{3} \cdot {im}^{3} + \left(\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + 2 \cdot im\right)\right)\right)}\]

  3. Simplified0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{(im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*}\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied log1p-expm1-u0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot (im \cdot \color{blue}{\left(\log_* (1 + (e^{(\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*} - 1)^*)\right)} + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*\]

  6. Final simplification0.8

    \[\leadsto (im \cdot \left(\log_* (1 + (e^{(\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*} - 1)^*)\right) + \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{5}\right))_* \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019016 +o rules:numerics
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 1/6 im) im) im)) (* (* (* (* (* 1/120 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

Details

Time bar (total: 33.0s)Debug log

sample417.0ms

Algorithm
intervals
Results
520×(pre true 80)
166×(body real 1280)
149×(body real 80)
118×(body real 640)
55×(body real 320)
32×(body real 160)

simplify238.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
238.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))

prune6.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 44.5b

localize21.0ms

Local error

Found 2 expressions with local error:

4.2b
(- (exp (- im)) (exp im))
0.0b
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))

rewrite24.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
27×prod-diff
26×*-un-lft-identity
26×add-sqr-sqrt
22×add-cube-cbrt
11×distribute-lft-in
11×distribute-rgt-in
5×associate-*r*
4×add-log-exp
4×add-exp-log
4×add-cbrt-cube
4×pow1
3×fma-neg
3×sub-neg
2×difference-of-squares
2×distribute-lft-out--
2×flip--
2×log1p-expm1-u
2×associate-*r/
2×flip3--
2×expm1-log1p-u
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×diff-log
Counts
2 → 71
Calls
2 calls:
Slowest
15.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))
8.0ms
(- (exp (- im)) (exp im))

series130.0ms

Counts
2 → 6
Calls
2 calls:
Slowest
90.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))
40.0ms
(- (exp (- im)) (exp im))

simplify6.2s

Counts
62 → 77
Calls
62 calls:
Slowest
349.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma (- (exp im)) 1 (* (exp im) 1)))
337.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma (- (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))))))
330.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma (- (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))))))
326.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))
296.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma (- (exp im)) 1 (* (exp im) 1)))

prune944.0ms

Pruning

4 alts after pruning (4 fresh and 0 done)

Merged error: 0.1b

localize40.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.1b
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.1b
(* (pow im 5) -1/60)
0.0b
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))
0.0b
(fma -1/3 (* im im) -2)

rewrite16.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
6×add-cube-cbrt
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
6×*-un-lft-identity
6×pow1
6×add-sqr-sqrt
4×add-log-exp
4×log1p-expm1-u
4×fma-udef
4×associate-*l*
4×expm1-log1p-u
3×associate-*r*
2×*-commutative
1×cbrt-unprod
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×distribute-lft-in
1×distribute-rgt-in
Counts
4 → 52
Calls
4 calls:
Slowest
10.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
4.0ms
(* (pow im 5) -1/60)
0.0ms
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))
0.0ms
(fma -1/3 (* im im) -2)

series233.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
133.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
40.0ms
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))
37.0ms
(* (pow im 5) -1/60)
23.0ms
(fma -1/3 (* im im) -2)

simplify2.3s

Counts
22 → 64
Calls
22 calls:
Slowest
515.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
289.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))
272.0ms
(- (+ (* 0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im 3))) (+ (* 1.0 (* (sin re) im)) (* 0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im 5))))))
261.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))
248.0ms
(- (+ (* 0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im 3))) (+ (* 1.0 (* (sin re) im)) (* 0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im 5))))))

prune879.0ms

Pruning

10 alts after pruning (10 fresh and 0 done)

Merged error: 0.1b

localize37.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.1b
(* (- (sin re)) (fma (* im im) (* im 0.16666666666666666) (* 1.0 im)))
0.1b
(* (- (sin re)) (pow im 5))
0.0b
(fma (* (- (sin re)) (pow im 5)) 0.008333333333333333 (* (- (sin re)) (fma (* im im) (* im 0.16666666666666666) (* 1.0 im))))
0.0b
(fma (* im im) (* im 0.16666666666666666) (* 1.0 im))

rewrite21.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
20×associate-*l*
12×add-cube-cbrt
12×*-un-lft-identity
12×add-sqr-sqrt
9×add-exp-log
8×add-cbrt-cube
6×associate-*r*
6×distribute-rgt-neg-in
6×pow1
6×distribute-lft-neg-in
4×add-log-exp
4×log1p-expm1-u
4×fma-udef
4×expm1-log1p-u
3×prod-exp
2×cbrt-unprod
2×*-commutative
2×neg-mul-1
2×distribute-lft-neg-out
1×pow-prod-down
1×distribute-lft-in
1×pow-to-exp
1×distribute-rgt-in
Counts
4 → 76
Calls
4 calls:
Slowest
9.0ms
(* (- (sin re)) (fma (* im im) (* im 0.16666666666666666) (* 1.0 im)))
9.0ms
(* (- (sin re)) (pow im 5))
0.0ms
(fma (* (- (sin re)) (pow im 5)) 0.008333333333333333 (* (- (sin re)) (fma (* im im) (* im 0.16666666666666666) (* 1.0 im))))
0.0ms
(fma (* im im) (* im 0.16666666666666666) (* 1.0 im))

series477.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
151.0ms
(* (- (sin re)) (fma (* im im) (* im 0.16666666666666666) (* 1.0 im)))
150.0ms
(fma (* (- (sin re)) (pow im 5)) 0.008333333333333333 (* (- (sin re)) (fma (* im im) (* im 0.16666666666666666) (* 1.0 im))))
110.0ms
(* (- (sin re)) (pow im 5))
66.0ms
(fma (* im im) (* im 0.16666666666666666) (* 1.0 im))

simplify2.3s

Counts
42 → 88
Calls
42 calls:
Slowest
347.0ms
(- (+ (* 0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im 3))) (* 1.0 (* (sin re) im))))
317.0ms
(- (+ (* 0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im 3))) (+ (* 1.0 (* (sin re) im)) (* 0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im 5))))))
289.0ms
(* (- (sin re)) (fma (* im im) (* im 0.16666666666666666) (* 1.0 im)))
285.0ms
(- (+ (* 0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im 3))) (* 1.0 (* (sin re) im))))
264.0ms
(- (+ (* 0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im 3))) (+ (* 1.0 (* (sin re) im)) (* 0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im 5))))))

prune1.3s

Pruning

13 alts after pruning (13 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize26.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.1b
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (log1p (expm1 (fma -1/3 (* im im) -2))) (* (pow im 5) -1/60)))
0.1b
(* (pow im 5) -1/60)
0.0b
(fma im (log1p (expm1 (fma -1/3 (* im im) -2))) (* (pow im 5) -1/60))
0.0b
(log1p (expm1 (fma -1/3 (* im im) -2)))

rewrite15.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
6×add-cube-cbrt
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
6×*-un-lft-identity
6×pow1
6×add-sqr-sqrt
4×add-log-exp
4×log1p-expm1-u
4×associate-*l*
4×expm1-log1p-u
3×fma-udef
3×associate-*r*
2×*-commutative
1×cbrt-unprod
1×log1p-expm1
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×distribute-lft-in
1×log1p-udef
1×distribute-rgt-in
Counts
4 → 53
Calls
4 calls:
Slowest
10.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (log1p (expm1 (fma -1/3 (* im im) -2))) (* (pow im 5) -1/60)))
4.0ms
(* (pow im 5) -1/60)
0.0ms
(fma im (log1p (expm1 (fma -1/3 (* im im) -2))) (* (pow im 5) -1/60))
0.0ms
(log1p (expm1 (fma -1/3 (* im im) -2)))

series1.2s

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
393.0ms
(log1p (expm1 (fma -1/3 (* im im) -2)))
390.0ms
(* (pow im 5) -1/60)
243.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (log1p (expm1 (fma -1/3 (* im im) -2))) (* (pow im 5) -1/60)))
202.0ms
(fma im (log1p (expm1 (fma -1/3 (* im im) -2))) (* (pow im 5) -1/60))

simplify1.8s

Counts
22 → 65
Calls
22 calls:
Slowest
406.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (log1p (expm1 (fma -1/3 (* im im) -2))) (* (pow im 5) -1/60)))
262.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))
249.0ms
(- (+ (* 0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im 3))) (+ (* 1.0 (* (sin re) im)) (* 0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im 5))))))
247.0ms
(- (+ (* 0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im 3))) (+ (* 1.0 (* (sin re) im)) (* 0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im 5))))))
97.0ms
(+ (log (* 0.5 (sin re))) (log (fma im (log1p (expm1 (fma -1/3 (* im im) -2))) (* (pow im 5) -1/60))))

prune939.0ms

Pruning

13 alts after pruning (12 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

regimes589.0ms

Accuracy

0% (0.8b remaining)

Error of 0.8b against oracle of 0.1b and baseline of 0.8b

bsearch2.0ms

end0.0ms

sample12.8s

Algorithm
intervals
Results
15926×(pre true 80)
4769×(body real 1280)
4531×(body real 80)
3865×(body real 640)
1858×(body real 320)
903×(body real 160)