Average Error: 0.2 → 0.0
Time: 24.7s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]
↓
\[\left(4 \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(3 + a\right)\right) + \left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right)\right) + \left(\left({a}^{4} + \left({b}^{2} \cdot {a}^{2}\right) \cdot 2\right) + {b}^{4}\right)\right) - 1\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]

  2. Taylor expanded around inf 0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({b}^{4} + \left({a}^{4} + 2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right)\right)\right)} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied associate-*l*0.0

    \[\leadsto \left(\left({b}^{4} + \left({a}^{4} + 2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right)\right)\right) + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \color{blue}{b \cdot \left(b \cdot \left(3 + a\right)\right)}\right)\right) - 1\]

  5. Final simplification0.0

    \[\leadsto \left(4 \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(3 + a\right)\right) + \left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right)\right) + \left(\left({a}^{4} + \left({b}^{2} \cdot {a}^{2}\right) \cdot 2\right) + {b}^{4}\right)\right) - 1\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019016 
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (24)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))) 1))

Details

Time bar (total: 24.4s)Debug log

sample282.0ms

Algorithm
intervals
Results
674×(pre true 80)
674×(body real 80)

simplify164.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
164.0ms
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))) 1)

prune13.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize48.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.7b
(* (* b b) (+ 3 a))
0.3b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
0.1b
(* (* a a) (- 1 a))
0.0b
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))

rewrite25.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
9×add-exp-log
9×pow1
8×add-cbrt-cube
7×add-cube-cbrt
7×*-un-lft-identity
7×add-sqr-sqrt
6×add-log-exp
6×associate-*r*
4×associate-*r/
4×distribute-lft-in
4×distribute-rgt-in
3×unpow-prod-down
2×flip-+
2×cbrt-unprod
2×*-commutative
2×prod-exp
2×pow-prod-down
2×associate-*l*
2×flip3-+
2×sub-neg
2×associate-+r+
1×unpow2
1×flip--
1×pow-exp
1×flip3--
1×pow-pow
1×sum-log
1×+-commutative
1×pow-to-exp
Counts
4 → 67
Calls
4 calls:
Slowest
14.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
4.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
3.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))
2.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)

series147.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
69.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
31.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
30.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
17.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))

simplify2.0s

Counts
42 → 79
Calls
42 calls:
Slowest
396.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (- 1 a) (- 1 a)) (- 1 a)))
365.0ms
(* (exp (pow (+ (* a a) (* b b)) 2)) (exp (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
211.0ms
(* 4 (* (* b b) (+ 3 a)))
145.0ms
(* (* (* b b) (+ 3 a)) 4)
120.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (+ 3 a) (+ 3 a)) (+ 3 a)))

prune840.0ms

Pruning

4 alts after pruning (4 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize26.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

2.9b
(* (pow a 2) (pow b 2))
0.7b
(* (* b b) (+ 3 a))
0.1b
(* (* a a) (- 1 a))
0.0b
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))

rewrite61.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
32×associate-*r/
20×frac-add
14×flip-+
14×flip3-+
13×add-log-exp
12×add-exp-log
10×associate-*r*
10×add-cbrt-cube
8×add-cube-cbrt
8×*-un-lft-identity
8×pow1
8×add-sqr-sqrt
6×prod-exp
6×associate-*l*
6×sum-log
5×flip--
5×flip3--
4×distribute-lft-in
4×pow-to-exp
4×distribute-rgt-in
3×cbrt-unprod
3×*-commutative
3×pow-prod-down
2×unpow2
2×sub-neg
2×associate-+r+
1×associate-+l+
1×+-commutative
Counts
4 → 90
Calls
4 calls:
Slowest
49.0ms
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
4.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
3.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))
3.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))

series124.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
64.0ms
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
26.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
17.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))
16.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

simplify6.2s

Counts
75 → 102
Calls
75 calls:
Slowest
625.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (- 1 a) (- 1 a)) (- 1 a)))
402.0ms
(+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) 3)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (- 3 a))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (pow 1 3) (pow a 3))) (- 3 a)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a))))))))
378.0ms
(+ (* (- (* (pow b 4) (pow b 4)) (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))))) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (- 3 a))) (* (- (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (pow 1 3) (pow a 3))) (- 3 a)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a))))))))
326.0ms
(+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) 3)) (* (+ 1 a) (- 3 a))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (* 1 1) (* a a))) (- 3 a)) (* (+ 1 a) (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a))))))))
319.0ms
(* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))))) (+ (* (* (* a a) (- 1 a)) (* (* a a) (- 1 a))) (- (* (* (* b b) (+ 3 a)) (* (* b b) (+ 3 a))) (* (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))

prune1.4s

Pruning

3 alts after pruning (3 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize16.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

2.9b
(* (pow a 2) (pow b 2))
0.1b
(* b (* b (+ 3 a)))
0.1b
(* (* a a) (- 1 a))
0.0b
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* b (* b (+ 3 a))))))

rewrite51.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
42×associate-*r/
20×frac-add
14×flip-+
14×flip3-+
13×add-log-exp
10×add-exp-log
8×associate-*r*
8×add-cbrt-cube
7×add-cube-cbrt
7×distribute-lft-in
7×*-un-lft-identity
7×add-sqr-sqrt
7×distribute-rgt-in
6×sum-log
6×pow1
5×flip--
5×prod-exp
5×associate-*l*
5×flip3--
4×pow-to-exp
3×*-commutative
2×unpow2
2×cbrt-unprod
2×pow-prod-down
2×sub-neg
2×associate-+r+
1×associate-+l+
1×+-commutative
Counts
4 → 86
Calls
4 calls:
Slowest
42.0ms
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* b (* b (+ 3 a))))))
3.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
3.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))
2.0ms
(* b (* b (+ 3 a)))

series112.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
56.0ms
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* b (* b (+ 3 a))))))
21.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
18.0ms
(* b (* b (+ 3 a)))
17.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

simplify5.8s

Counts
72 → 98
Calls
72 calls:
Slowest
389.0ms
(+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) 3)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (- 3 a))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (pow 1 3) (pow a 3))) (- 3 a)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (* b (* b (- (* 3 3) (* a a)))))))))
360.0ms
(+ (* (- (* (pow b 4) (pow b 4)) (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))))) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (- 3 a))) (* (- (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (pow 1 3) (pow a 3))) (- 3 a)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (* b (* b (- (* 3 3) (* a a)))))))))
314.0ms
(+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) 3)) (* (+ 1 a) (- 3 a))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (* 1 1) (* a a))) (- 3 a)) (* (+ 1 a) (* b (* b (- (* 3 3) (* a a)))))))))
281.0ms
(+ (* (- (* (pow b 4) (pow b 4)) (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))))) (* (+ 1 a) (- 3 a))) (* (- (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (* 1 1) (* a a))) (- 3 a)) (* (+ 1 a) (* b (* b (- (* 3 3) (* a a)))))))))
267.0ms
(* (exp (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))))) (exp (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* b (* b (+ 3 a)))))))

prune1.6s

Pruning

3 alts after pruning (2 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize15.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

19.6b
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
19.6b
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
19.6b
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
0.7b
(* (* b b) (+ 3 a))

rewrite10.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
21×cbrt-prod
11×add-cube-cbrt
11×*-un-lft-identity
11×add-sqr-sqrt
9×unpow-prod-down
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
6×pow1
4×add-log-exp
3×unpow2
3×associate-*r*
3×pow1/3
2×associate-*r/
1×flip-+
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×flip3-+
1×distribute-lft-in
1×distribute-rgt-in
Counts
4 → 64
Calls
4 calls:
Slowest
3.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))
2.0ms
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
2.0ms
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
2.0ms
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))

series279.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
98.0ms
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
82.0ms
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
81.0ms
(cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
18.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))

simplify672.0ms

Counts
43 → 76
Calls
43 calls:
Slowest
80.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (+ 3 a) (+ 3 a)) (+ 3 a)))
50.0ms
(cbrt (sqrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2)))
50.0ms
(cbrt (sqrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2)))
50.0ms
(cbrt (* (cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2)) (cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))))
50.0ms
(cbrt (* (cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2)) (cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))))

prune809.0ms

Pruning

3 alts after pruning (1 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

regimes149.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch3.0ms

end0.0ms

sample3.6s

Algorithm
intervals
Results
20583×(pre true 80)
20582×(body real 80)
1×(body real 160)