Average Error: 28.5 → 0.4
Time: 45.4s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]
↓
\[\frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(\left(a \cdot c\right) \cdot 4\right) \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot 4\right)}}{\sqrt{\left(a \cdot c\right) \cdot 4 + b \cdot b}} + b}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 28.5

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]

  2. Simplified28.5

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b}{2 \cdot a}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied flip--28.4

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b}}}{2 \cdot a}\]

  5. Applied associate-/l/28.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b \cdot b}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}}\]

  6. Simplified0.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied associate-/r*0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{2 \cdot a}}{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b}}\]
  9. Using strategy rm

  10. Applied flip--0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{2 \cdot a}}{\sqrt{\color{blue}{\frac{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(\left(c \cdot a\right) \cdot 4\right) \cdot \left(\left(c \cdot a\right) \cdot 4\right)}{b \cdot b + \left(c \cdot a\right) \cdot 4}}} + b}\]

  11. Applied sqrt-div0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{2 \cdot a}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(\left(c \cdot a\right) \cdot 4\right) \cdot \left(\left(c \cdot a\right) \cdot 4\right)}}{\sqrt{b \cdot b + \left(c \cdot a\right) \cdot 4}}} + b}\]

  12. Final simplification0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(\left(a \cdot c\right) \cdot 4\right) \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot 4\right)}}{\sqrt{\left(a \cdot c\right) \cdot 4 + b \cdot b}} + b}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019016 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, narrow range"
  :pre (and (< 1.0536712127723509e-08 a 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 b 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 c 94906265.62425156))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c)))) (* 2 a)))

Details

Time bar (total: 44.5s)Debug log

sample205.0ms

Algorithm
intervals
Results
526×(pre true 80)
270×(body nan 80)
129×(body real 80)
127×(body real 160)

simplify86.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
86.0ms
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c)))) (* 2 a))

prune419.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 26.0b

localize49.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

26.0b
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
0.2b
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
0.2b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.1b
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))

rewrite40.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
8×add-sqr-sqrt
7×add-cube-cbrt
7×*-un-lft-identity
6×add-log-exp
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
4×flip--
4×flip3--
4×pow1
3×associate-/l*
3×sqrt-prod
3×times-frac
2×associate-/l/
2×sqrt-div
2×sub-neg
1×div-inv
1×div-exp
1×div-sub
1×diff-log
1×pow1/2
1×frac-2neg
1×associate-/r*
1×clear-num
1×rem-sqrt-square
1×cbrt-undiv
Counts
4 → 59
Calls
4 calls:
Slowest
21.0ms
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
10.0ms
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
4.0ms
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))
3.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

series243.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
83.0ms
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
72.0ms
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
54.0ms
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))
34.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify2.3s

Counts
32 → 71
Calls
32 calls:
Slowest
403.0ms
(sqrt (- (pow (* b b) 3) (pow (* (* c a) 4) 3)))
277.0ms
(- (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* b b))
184.0ms
(- (pow (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) 3) (pow b 3))
149.0ms
(- b (* 2 (/ (* a c) b)))
144.0ms
(sqrt (- (* (* b b) (* b b)) (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4))))

prune755.0ms

Pruning

7 alts after pruning (7 fresh and 0 done)

Merged error: 0.3b

localize13.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.4b
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
0.2b
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
0.2b
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
0.2b
(- (* b b) (* (* c a) 4))

rewrite39.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
6×add-log-exp
6×pow1
5×add-cube-cbrt
5×*-un-lft-identity
5×add-sqr-sqrt
4×associate-*r/
3×flip-+
3×associate-*r*
3×flip3-+
2×cbrt-unprod
2×associate-/r/
2×prod-exp
2×div-exp
2×cbrt-undiv
1×associate-/l*
1×flip--
1×div-inv
1×*-commutative
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×diff-log
1×flip3--
1×times-frac
1×distribute-lft-in
1×frac-2neg
1×sub-neg
1×associate-/r*
1×clear-num
1×+-commutative
1×distribute-rgt-in
Counts
4 → 60
Calls
4 calls:
Slowest
14.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
11.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
8.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
4.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

series270.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
131.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
71.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
43.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
25.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify3.4s

Counts
33 → 72
Calls
33 calls:
Slowest
824.0ms
(/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a)) (* (* (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))
725.0ms
(/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))
281.0ms
(+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (- (* b b) (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
270.0ms
(+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (- (* b b) (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
173.0ms
(* (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a)) (* (* (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))

prune860.0ms

Pruning

8 alts after pruning (8 fresh and 0 done)

Merged error: 0b

localize6.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.2b
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
0.2b
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
0.2b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.1b
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))

rewrite57.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
19×times-frac
16×add-sqr-sqrt
15×add-cube-cbrt
15×*-un-lft-identity
9×add-exp-log
9×add-cbrt-cube
6×add-log-exp
5×associate-/l*
5×div-inv
4×pow1
3×sqrt-prod
3×div-exp
3×associate-/r*
3×cbrt-undiv
2×flip--
2×flip-+
2×associate-/r/
2×sqrt-div
2×flip3--
2×flip3-+
1×associate-/l/
1×diff-log
1×pow1/2
1×frac-2neg
1×sub-neg
1×clear-num
1×rem-sqrt-square
1×+-commutative
Counts
4 → 76
Calls
4 calls:
Slowest
28.0ms
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
19.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
5.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))
4.0ms
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))

series316.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
139.0ms
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
69.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
67.0ms
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))
41.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify13.5s

Counts
63 → 88
Calls
63 calls:
Slowest
1.1s
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (sqrt (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
1.1s
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (cbrt (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
1.0s
(/ (/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a))) (* (* (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
1.0s
(/ (sqrt (/ (* (* c -4) a) (* 2 a))) 1)
881.0ms
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))

prune1.2s

Pruning

7 alts after pruning (7 fresh and 0 done)

Merged error: 0b

localize49.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.5b
(* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4))
0.5b
(* (* b b) (* b b))
0.2b
(/ (sqrt (- (* (* b b) (* b b)) (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4)))) (sqrt (+ (* b b) (* (* c a) 4))))
0.2b
(+ (* b b) (* (* c a) 4))

rewrite56.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
52×sqrt-prod
42×times-frac
34×add-cube-cbrt
34×*-un-lft-identity
34×add-sqr-sqrt
14×pow1
10×add-exp-log
10×add-cbrt-cube
7×difference-of-squares
7×associate-/l*
6×add-log-exp
6×associate-/r*
6×pow2
4×sqrt-div
3×pow-prod-up
3×pow-prod-down
2×associate-/l/
2×flip-+
2×cbrt-unprod
2×*-commutative
2×associate-/r/
2×prod-exp
2×associate-*l*
2×associate-*r*
2×pow-plus
2×flip3-+
1×flip--
1×div-inv
1×div-exp
1×flip3--
1×frac-2neg
1×sum-log
1×clear-num
1×sqrt-undiv
1×+-commutative
1×cbrt-undiv
Counts
4 → 117
Calls
4 calls:
Slowest
21.0ms
(/ (sqrt (- (* (* b b) (* b b)) (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4)))) (sqrt (+ (* b b) (* (* c a) 4))))
19.0ms
(* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4))
7.0ms
(* (* b b) (* b b))
5.0ms
(+ (* b b) (* (* c a) 4))

series201.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
107.0ms
(/ (sqrt (- (* (* b b) (* b b)) (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4)))) (sqrt (+ (* b b) (* (* c a) 4))))
36.0ms
(+ (* b b) (* (* c a) 4))
30.0ms
(* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4))
29.0ms
(* (* b b) (* b b))

simplify13.5s

Counts
131 → 129
Calls
131 calls:
Slowest
653.0ms
(* (* (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4)) (* (* c a) 4)) (* (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4)) (* (* c a) 4)))
558.0ms
(sqrt (- (* (* (* b b) (* b b)) (* (* b b) (* b b))) (* (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4)) (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4)))))
498.0ms
(/ (* (cbrt (sqrt (- (* (* b b) (* b b)) (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4))))) (cbrt (sqrt (- (* (* b b) (* b b)) (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4)))))) 1)
242.0ms
(sqrt (+ (* (* b b) (* b b)) (- (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4)) (* (* b b) (* (* c a) 4)))))
219.0ms
(/ (sqrt (sqrt (- (* (* b b) (* b b)) (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4))))) (* (cbrt (sqrt (+ (* b b) (* (* c a) 4)))) (cbrt (sqrt (+ (* b b) (* (* c a) 4))))))

prune2.2s

Pruning

7 alts after pruning (6 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

regimes152.0ms

Accuracy

0% (0.3b remaining)

Error of 0.4b against oracle of 0.0b and baseline of 0.4b

bsearch5.0ms

end0.0ms

sample4.6s

Algorithm
intervals
Results
16490×(pre true 80)
8490×(body nan 80)
4439×(body real 160)
3561×(body real 80)