Average Error: 44.0 → 0.2
Time: 25.2s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
↓
\[\frac{c}{\left(-b\right) - \sqrt{\frac{{\left(b \cdot b\right)}^{3} - {\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)}^{3}}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right) \cdot \left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right) + \left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus d

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 44.0

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied flip-+44.0

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(-b\right) \cdot \left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}}}{3 \cdot a}\]

  4. Applied associate-/l/44.0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(-b\right) \cdot \left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}}\]

  5. Simplified0.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}\]
  6. Using strategy rm

  7. Applied times-frac0.5

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{3}{3 \cdot a} \cdot \frac{c \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}}\]

  8. Simplified0.5

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{a}} \cdot \frac{c \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}\]
  9. Using strategy rm

  10. Applied pow10.5

    \[\leadsto \frac{1}{a} \cdot \color{blue}{{\left(\frac{c \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}\right)}^{1}}\]

  11. Applied pow10.5

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{1}{a}\right)}^{1}} \cdot {\left(\frac{c \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}\right)}^{1}\]

  12. Applied pow-prod-down0.5

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{1}{a} \cdot \frac{c \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}\right)}^{1}}\]

  13. Simplified0.2

    \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(3 \cdot a\right)}}\right)}}^{1}\]
  14. Using strategy rm

  15. Applied flip3--0.2

    \[\leadsto {\left(\frac{c}{\left(-b\right) - \sqrt{\color{blue}{\frac{{\left(b \cdot b\right)}^{3} - {\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)}^{3}}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)}}}}\right)}^{1}\]

  16. Final simplification0.2

    \[\leadsto \frac{c}{\left(-b\right) - \sqrt{\frac{{\left(b \cdot b\right)}^{3} - {\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)}^{3}}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right) \cdot \left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right) + \left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019016 
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, medium range"
  :pre (and (< 1.1102230246251565e-16 a 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 b 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 c 9007199254740992.0))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))

Details

Time bar (total: 23.7s)Debug log

sample173.0ms

Algorithm
intervals
Results
554×(pre true 80)
297×(body nan 80)
159×(body real 160)
54×(body real 80)
44×(body real 320)

simplify75.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
75.0ms
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a))

prune19.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 44.6b

localize43.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

41.5b
(+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))
0.3b
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a))
0.3b
(* (* 3 a) c)
0.1b
(- (* b b) (* (* 3 a) c))

rewrite41.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
12×*-un-lft-identity
8×add-log-exp
6×add-cube-cbrt
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
6×add-sqr-sqrt
4×associate-/l*
4×times-frac
4×pow1
3×distribute-lft-out
2×associate-/l/
2×flip-+
2×associate-+l-
2×flip3-+
2×neg-sub0
1×flip--
1×div-inv
1×*-commutative
1×associate-*l*
1×div-exp
1×div-sub
1×diff-log
1×flip3--
1×frac-2neg
1×sub-neg
1×sum-log
1×associate-/r*
1×clear-num
1×+-commutative
1×cbrt-undiv
Counts
4 → 58
Calls
4 calls:
Slowest
25.0ms
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a))
11.0ms
(+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))
2.0ms
(* (* 3 a) c)
2.0ms
(- (* b b) (* (* 3 a) c))

series172.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
76.0ms
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a))
46.0ms
(+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))
31.0ms
(- (* b b) (* (* 3 a) c))
18.0ms
(* (* 3 a) c)

simplify1.7s

Counts
30 → 70
Calls
30 calls:
Slowest
300.0ms
(+ (pow (- b) 3) (pow (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) 3))
245.0ms
(- (* (- b) (- b)) (* (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
162.0ms
(/ (* (* (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (* (* (* 3 a) (* 3 a)) (* 3 a)))
88.0ms
(- (* 3/2 (/ (* a c) b)) (* 2 b))
78.0ms
(- (log (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (log (* 3 a)))

prune743.0ms

Pruning

5 alts after pruning (5 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize14.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.4b
(/ (* 3 (* c a)) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
0.3b
(* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
0.3b
(* (* 3 a) c)
0.2b
(* 3 (* c a))

rewrite26.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
9×add-sqr-sqrt
7×associate-*r*
7×*-un-lft-identity
6×pow1
5×add-cube-cbrt
4×add-log-exp
4×associate-*r/
3×*-commutative
2×difference-of-squares
2×flip--
2×cbrt-unprod
2×associate-/r/
2×prod-exp
2×associate-*l*
2×div-exp
2×flip3--
2×distribute-lft-in
2×sub-neg
2×cbrt-undiv
2×distribute-rgt-in
1×distribute-lft-out--
1×associate-/l*
1×div-inv
1×sqrt-prod
1×pow-prod-down
1×times-frac
1×frac-2neg
1×associate-/r*
1×clear-num
Counts
4 → 61
Calls
4 calls:
Slowest
12.0ms
(* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
11.0ms
(/ (* 3 (* c a)) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
2.0ms
(* (* 3 a) c)
1.0ms
(* 3 (* c a))

series697.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
563.0ms
(/ (* 3 (* c a)) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
99.0ms
(* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
22.0ms
(* (* 3 a) c)
13.0ms
(* 3 (* c a))

simplify5.9s

Counts
36 → 73
Calls
36 calls:
Slowest
1.9s
(/ (* (* (* 3 (* c a)) (* 3 (* c a))) (* 3 (* c a))) (* (* (* (* 3 a) (* 3 a)) (* 3 a)) (* (* (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))))
1.7s
(/ (* (* (* 3 (* c a)) (* 3 (* c a))) (* 3 (* c a))) (* (* (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))))
514.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
413.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
190.0ms
(* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))

prune797.0ms

Pruning

10 alts after pruning (10 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize17.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(* (/ 1 a) (/ (* c a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
0.3b
(/ (* c a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
0.3b
(* (* 3 a) c)
0.1b
(- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))

rewrite49.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
25×add-sqr-sqrt
17×*-un-lft-identity
12×associate-*r*
12×times-frac
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
9×add-cube-cbrt
8×difference-of-squares
6×add-log-exp
6×associate-/r*
6×pow1
5×associate-*l*
4×distribute-lft-out--
4×sqrt-prod
4×associate-/r/
3×flip--
3×div-inv
3×flip3--
2×cbrt-unprod
2×*-commutative
2×prod-exp
2×div-exp
2×cbrt-undiv
1×associate-/l*
1×associate-*r/
1×associate-*l/
1×pow-prod-down
1×diff-log
1×frac-2neg
1×sub-neg
1×clear-num
1×frac-times
1×neg-sub0
1×associate--l-
Counts
4 → 84
Calls
4 calls:
Slowest
24.0ms
(* (/ 1 a) (/ (* c a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
17.0ms
(/ (* c a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
5.0ms
(- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))
2.0ms
(* (* 3 a) c)

series336.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
129.0ms
(/ (* c a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
125.0ms
(* (/ 1 a) (/ (* c a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
66.0ms
(- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))
16.0ms
(* (* 3 a) c)

simplify4.4s

Counts
63 → 96
Calls
63 calls:
Slowest
419.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
379.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
376.0ms
(+ (log (/ 1 a)) (- (log (* c a)) (log (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))))
353.0ms
(* (/ 1 a) (/ (* c a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
264.0ms
(+ (log (/ 1 a)) (log (/ (* c a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))))

prune1.0s

Pruning

8 alts after pruning (7 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

localize16.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(* c (* 3 a))
0.1b
(/ c (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a))))))
0.1b
(- (- b) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a)))))
0.1b
(- (* b b) (* c (* 3 a)))

rewrite13.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
13×add-sqr-sqrt
9×*-un-lft-identity
8×add-log-exp
6×associate-/r*
5×add-cube-cbrt
4×difference-of-squares
4×add-exp-log
4×add-cbrt-cube
4×pow1
3×flip--
3×flip3--
2×distribute-lft-out--
2×sqrt-prod
2×associate-/r/
2×diff-log
2×sub-neg
1×div-inv
1×*-commutative
1×associate-*r*
1×frac-2neg
1×clear-num
1×neg-sub0
1×associate--l-
Counts
4 → 55
Calls
4 calls:
Slowest
5.0ms
(- (- b) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a)))))
4.0ms
(/ c (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a))))))
2.0ms
(- (* b b) (* c (* 3 a)))
1.0ms
(* c (* 3 a))

series280.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
156.0ms
(/ c (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a))))))
72.0ms
(- (- b) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a)))))
41.0ms
(- (* b b) (* c (* 3 a)))
11.0ms
(* c (* 3 a))

simplify1.2s

Counts
27 → 67
Calls
27 calls:
Slowest
400.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a)))) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a))))) (* (- b) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a)))))))
71.0ms
(/ (exp (* b b)) (exp (* c (* 3 a))))
67.0ms
(- (* 3/2 (/ (* a c) b)) (* 2 b))
58.0ms
(- (sqrt (- b)) (sqrt (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a))))))
55.0ms
(- (- b) (sqrt (- (* b b) (* c (* 3 a)))))

prune781.0ms

Pruning

7 alts after pruning (6 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

regimes297.0ms

Accuracy

0% (0.2b remaining)

Error of 0.2b against oracle of 0.0b and baseline of 0.2b

bsearch3.0ms

end0.0ms

sample4.9s

Algorithm
intervals
Results
16309×(pre true 80)
8309×(body nan 80)
4795×(body real 160)
1796×(body real 80)
1409×(body real 320)