Average Error: 58.6 → 3.4
Time: 49.1s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(e^{b \cdot \varepsilon} - 1\right)}\]
↓
\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus eps

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original58.6
Target14.1
Herbie3.4
\[\frac{a + b}{a \cdot b}\]

Derivation

  1. Initial program 58.6

    \[\frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(e^{b \cdot \varepsilon} - 1\right)}\]

  2. Taylor expanded around 0 56.4

    \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \left(\frac{1}{6} \cdot \left({a}^{3} \cdot {\varepsilon}^{3}\right) + a \cdot \varepsilon\right)\right)} \cdot \left(e^{b \cdot \varepsilon} - 1\right)}\]

  3. Simplified55.0

    \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\color{blue}{\left(\left(\left(a \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(a \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot a\right) + \frac{1}{2}\right) + a \cdot \varepsilon\right)} \cdot \left(e^{b \cdot \varepsilon} - 1\right)}\]

  4. Taylor expanded around 0 3.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\]

  5. Final simplification3.4

    \[\leadsto \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019016 
(FPCore (a b eps)
  :name "expq3 (problem 3.4.2)"
  :pre (and (< -1 eps) (< eps 1))

  :herbie-target
  (/ (+ a b) (* a b))

  (/ (* eps (- (exp (* (+ a b) eps)) 1)) (* (- (exp (* a eps)) 1) (- (exp (* b eps)) 1))))

Details

Time bar (total: 48.6s)Debug log

sample448.0ms

Algorithm
intervals
Results
328×(pre true 80)
128×(body real 1280)
72×(body real 2560)
70×(body exit 10240)
29×(body real 640)
17×(body real 80)
6×(body real 320)
6×(body real 160)

simplify208.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
208.0ms
(/ (* eps (- (exp (* (+ a b) eps)) 1)) (* (- (exp (* a eps)) 1) (- (exp (* b eps)) 1)))

prune8.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 57.7b

localize37.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

5.4b
(- (exp (* (+ a b) eps)) 1)
4.2b
(- (exp (* b eps)) 1)
2.6b
(- (exp (* a eps)) 1)
0.5b
(* (- (exp (* a eps)) 1) (- (exp (* b eps)) 1))

rewrite32.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
11×add-sqr-sqrt
9×flip--
9×flip3--
6×add-cube-cbrt
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
6×*-un-lft-identity
6×pow1
5×difference-of-sqr-1
5×sub-neg
4×add-log-exp
4×associate-*l*
4×associate-*r*
4×frac-times
2×associate-*r/
2×associate-*l/
2×distribute-lft-in
2×distribute-rgt-in
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-prod-down
Counts
4 → 67
Calls
4 calls:
Slowest
17.0ms
(* (- (exp (* a eps)) 1) (- (exp (* b eps)) 1))
6.0ms
(- (exp (* (+ a b) eps)) 1)
4.0ms
(- (exp (* a eps)) 1)
4.0ms
(- (exp (* b eps)) 1)

series121.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
37.0ms
(* (- (exp (* a eps)) 1) (- (exp (* b eps)) 1))
34.0ms
(- (exp (* (+ a b) eps)) 1)
25.0ms
(- (exp (* b eps)) 1)
24.0ms
(- (exp (* a eps)) 1)

simplify3.3s

Counts
41 → 79
Calls
41 calls:
Slowest
602.0ms
(* (* (* (- (exp (* a eps)) 1) (- (exp (* a eps)) 1)) (- (exp (* a eps)) 1)) (* (* (- (exp (* b eps)) 1) (- (exp (* b eps)) 1)) (- (exp (* b eps)) 1)))
357.0ms
(* (+ (exp (* a eps)) 1) (+ (* (exp (* b eps)) (exp (* b eps))) (+ (* 1 1) (* (exp (* b eps)) 1))))
264.0ms
(+ (* eps b) (+ (* 1/2 (* (pow eps 2) (pow b 2))) (* 1/6 (* (pow eps 3) (pow b 3)))))
214.0ms
(+ (* 1/2 (* (pow a 2) (pow eps 2))) (+ (* 1/6 (* (pow a 3) (pow eps 3))) (* a eps)))
193.0ms
(* (- (* (exp (* a eps)) (exp (* a eps))) (* 1 1)) (- (exp (* b eps)) 1))

prune853.0ms

Pruning

4 alts after pruning (4 fresh and 0 done)

Merged error: 45.8b

localize23.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

5.4b
(- (exp (* (+ a b) eps)) 1)
4.2b
(- (exp (* b eps)) 1)
4.0b
(/ (* eps (- (exp (* (+ a b) eps)) 1)) (* (+ (* (* (* a eps) (* a eps)) (+ (* eps (* 1/6 a)) 1/2)) (* a eps)) (- (exp (* b eps)) 1)))
1.7b
(* (+ (* (* (* a eps) (* a eps)) (+ (* eps (* 1/6 a)) 1/2)) (* a eps)) (- (exp (* b eps)) 1))

rewrite70.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
9×flip--
9×flip3--
9×add-sqr-sqrt
8×associate-/r/
8×frac-times
6×flip-+
6×add-cube-cbrt
6×associate-*r/
6×flip3-+
6×*-un-lft-identity
6×pow1
4×add-log-exp
4×associate-*l/
4×associate-*r*
4×sub-neg
3×associate-*l*
3×difference-of-sqr-1
2×associate-/l/
2×cbrt-unprod
2×prod-exp
2×div-exp
2×distribute-lft-in
2×cbrt-undiv
2×distribute-rgt-in
1×associate-/l*
1×div-inv
1×*-commutative
1×pow-prod-down
1×times-frac
1×frac-2neg
1×associate-/r*
1×clear-num
Counts
4 → 81
Calls
4 calls:
Slowest
30.0ms
(/ (* eps (- (exp (* (+ a b) eps)) 1)) (* (+ (* (* (* a eps) (* a eps)) (+ (* eps (* 1/6 a)) 1/2)) (* a eps)) (- (exp (* b eps)) 1)))
28.0ms
(* (+ (* (* (* a eps) (* a eps)) (+ (* eps (* 1/6 a)) 1/2)) (* a eps)) (- (exp (* b eps)) 1))
6.0ms
(- (exp (* (+ a b) eps)) 1)
4.0ms
(- (exp (* b eps)) 1)

series635.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
504.0ms
(/ (* eps (- (exp (* (+ a b) eps)) 1)) (* (+ (* (* (* a eps) (* a eps)) (+ (* eps (* 1/6 a)) 1/2)) (* a eps)) (- (exp (* b eps)) 1)))
73.0ms
(* (+ (* (* (* a eps) (* a eps)) (+ (* eps (* 1/6 a)) 1/2)) (* a eps)) (- (exp (* b eps)) 1))
35.0ms
(- (exp (* (+ a b) eps)) 1)
23.0ms
(- (exp (* b eps)) 1)

simplify8.4s

Counts
56 → 93
Calls
56 calls:
Slowest
516.0ms
(* (+ (* (* (* a eps) (* a eps)) (+ (* eps (* 1/6 a)) 1/2)) (* a eps)) (- (exp (* b eps)) 1))
380.0ms
(* (+ (* (* (* a eps) (* a eps)) (+ (* eps (* 1/6 a)) 1/2)) (* a eps)) (- 1))
348.0ms
(* (+ (* (* (* a eps) (* a eps)) (+ (* eps (* 1/6 a)) 1/2)) (* a eps)) (- 1))
327.0ms
(- (+ (* 1/6 (* (pow a 3) (* (pow eps 3) (exp (* eps b))))) (* 1/2 (* (pow a 2) (* (pow eps 2) (exp (* eps b)))))) (+ (* 1/2 (* (pow a 2) (pow eps 2))) (* 1/6 (* (pow a 3) (pow eps 3)))))
305.0ms
(* (+ (* (* (* (* a eps) (* a eps)) (+ (* eps (* 1/6 a)) 1/2)) (* (* (* a eps) (* a eps)) (+ (* eps (* 1/6 a)) 1/2))) (- (* (* a eps) (* a eps)) (* (* (* (* a eps) (* a eps)) (+ (* eps (* 1/6 a)) 1/2)) (* a eps)))) (+ (exp (* b eps)) 1))

prune1.3s

Pruning

3 alts after pruning (3 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize7.0ms

Local error

Found 0 expressions with local error:

rewrite0.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
Counts
0 → 0
Calls
0 calls:
Slowest

series0.0ms

Counts
0 → 0
Calls
0 calls:
Slowest

simplify0.0ms

Counts
0 → 0
Calls
0 calls:
Slowest

prune8.0ms

Pruning

3 alts after pruning (2 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize24.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

5.4b
(- (exp (* (+ a b) eps)) 1)
2.6b
(- (exp (* a eps)) 1)
2.2b
(* (- (exp (* a eps)) 1) (+ (* eps b) (* (* (* eps b) (* eps b)) (+ (* b (* 1/6 eps)) 1/2))))
1.5b
(/ (* eps (- (exp (* (+ a b) eps)) 1)) (* (- (exp (* a eps)) 1) (+ (* eps b) (* (* (* eps b) (* eps b)) (+ (* b (* 1/6 eps)) 1/2)))))

rewrite73.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
9×flip--
9×flip3--
9×add-sqr-sqrt
8×associate-/r/
8×frac-times
6×flip-+
6×add-cube-cbrt
6×associate-*r/
6×flip3-+
6×*-un-lft-identity
6×pow1
4×add-log-exp
4×associate-*l/
4×associate-*l*
3×associate-*r*
3×difference-of-sqr-1
2×associate-/l/
2×cbrt-unprod
2×prod-exp
2×div-exp
2×sub-neg
2×cbrt-undiv
1×associate-/l*
1×div-inv
1×*-commutative
1×pow-prod-down
1×times-frac
1×distribute-lft-in
1×frac-2neg
1×associate-/r*
1×clear-num
1×distribute-rgt-in
Counts
4 → 79
Calls
4 calls:
Slowest
30.0ms
(/ (* eps (- (exp (* (+ a b) eps)) 1)) (* (- (exp (* a eps)) 1) (+ (* eps b) (* (* (* eps b) (* eps b)) (+ (* b (* 1/6 eps)) 1/2)))))
28.0ms
(* (- (exp (* a eps)) 1) (+ (* eps b) (* (* (* eps b) (* eps b)) (+ (* b (* 1/6 eps)) 1/2))))
7.0ms
(- (exp (* a eps)) 1)
6.0ms
(- (exp (* (+ a b) eps)) 1)

series1.5s

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
1.3s
(/ (* eps (- (exp (* (+ a b) eps)) 1)) (* (- (exp (* a eps)) 1) (+ (* eps b) (* (* (* eps b) (* eps b)) (+ (* b (* 1/6 eps)) 1/2)))))
150.0ms
(* (- (exp (* a eps)) 1) (+ (* eps b) (* (* (* eps b) (* eps b)) (+ (* b (* 1/6 eps)) 1/2))))
40.0ms
(- (exp (* (+ a b) eps)) 1)
36.0ms
(- (exp (* a eps)) 1)

simplify10.2s

Counts
54 → 91
Calls
54 calls:
Slowest
540.0ms
(- (+ (/ (exp (* (+ a b) eps)) (* (- (* 1/6 (exp (* a eps))) 1/6) (* (pow b 3) (pow eps 2)))) (+ (* 1/2 (/ (exp (* a eps)) (* (pow (- (* 1/6 (exp (* a eps))) 1/6) 2) (* (pow b 4) (pow eps 3))))) (* 1/2 (/ (exp (* (+ a b) eps)) (* (pow (- (* 1/6 (exp (* a eps))) 1/6) 2) (* (pow b 4) (pow eps 3))))))) (+ (* 1/2 (/ (* (exp (* (+ a b) eps)) (exp (* a eps))) (* (pow eps 3) (* (pow (- (* 1/6 (exp (* a eps))) 1/6) 2) (pow b 4))))) (+ (/ 1 (* (- (* 1/6 (exp (* a eps))) 1/6) (* (pow eps 2) (pow b 3)))) (* 1/2 (/ 1 (* (pow (- (* 1/6 (exp (* a eps))) 1/6) 2) (* (pow eps 3) (pow b 4))))))))
517.0ms
(- (+ (/ (exp (* (+ a b) eps)) (* (- (* 1/6 (exp (* a eps))) 1/6) (* (pow b 3) (pow eps 2)))) (+ (* 1/2 (/ (exp (* a eps)) (* (pow (- (* 1/6 (exp (* a eps))) 1/6) 2) (* (pow b 4) (pow eps 3))))) (* 1/2 (/ (exp (* (+ a b) eps)) (* (pow (- (* 1/6 (exp (* a eps))) 1/6) 2) (* (pow b 4) (pow eps 3))))))) (+ (* 1/2 (/ (* (exp (* (+ a b) eps)) (exp (* a eps))) (* (pow eps 3) (* (pow (- (* 1/6 (exp (* a eps))) 1/6) 2) (pow b 4))))) (+ (/ 1 (* (- (* 1/6 (exp (* a eps))) 1/6) (* (pow eps 2) (pow b 3)))) (* 1/2 (/ 1 (* (pow (- (* 1/6 (exp (* a eps))) 1/6) 2) (* (pow eps 3) (pow b 4))))))))
509.0ms
(* (+ (* (exp (* a eps)) (exp (* a eps))) (+ (* 1 1) (* (exp (* a eps)) 1))) (+ (* (* eps b) (* eps b)) (- (* (* (* (* eps b) (* eps b)) (+ (* b (* 1/6 eps)) 1/2)) (* (* (* eps b) (* eps b)) (+ (* b (* 1/6 eps)) 1/2))) (* (* eps b) (* (* (* eps b) (* eps b)) (+ (* b (* 1/6 eps)) 1/2))))))
464.0ms
(/ (* (* (* eps (- (exp (* (+ a b) eps)) 1)) (* eps (- (exp (* (+ a b) eps)) 1))) (* eps (- (exp (* (+ a b) eps)) 1))) (* (* (* (- (exp (* a eps)) 1) (+ (* eps b) (* (* (* eps b) (* eps b)) (+ (* b (* 1/6 eps)) 1/2)))) (* (- (exp (* a eps)) 1) (+ (* eps b) (* (* (* eps b) (* eps b)) (+ (* b (* 1/6 eps)) 1/2))))) (* (- (exp (* a eps)) 1) (+ (* eps b) (* (* (* eps b) (* eps b)) (+ (* b (* 1/6 eps)) 1/2))))))
412.0ms
(* (+ (* (exp (* a eps)) (exp (* a eps))) (+ (* 1 1) (* (exp (* a eps)) 1))) (+ (* (* eps b) (* eps b)) (- (* (* (* (* eps b) (* eps b)) (+ (* b (* 1/6 eps)) 1/2)) (* (* (* eps b) (* eps b)) (+ (* b (* 1/6 eps)) 1/2))) (* (* eps b) (* (* (* eps b) (* eps b)) (+ (* b (* 1/6 eps)) 1/2))))))

prune1.3s

Pruning

3 alts after pruning (2 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

regimes192.0ms

Accuracy

0% (3.3b remaining)

Error of 3.4b against oracle of 0.1b and baseline of 3.4b

bsearch2.0ms

end0.0ms

sample19.8s

Algorithm
intervals
Results
10025×(pre true 80)
3466×(body real 1280)
2584×(body real 2560)
2021×(body exit 10240)
1053×(body real 640)
449×(body real 80)
327×(body real 320)
125×(body real 160)